定义 4.1（映射）

设 $V$ 和 $W$ 是两个非空集合，若对 $V$ 中每个元素 $\alpha$，按照某种法则，在 $W$ 中都有唯一的元素 $\beta$ 与之对应，则称此法则为从 $V$ 到 $W$ 的映射，记为 $f: V \to W$，$\beta = f(\alpha)$。

特殊映射：

1. 单射（入射）： 不同的原像有不同的像
2. 满射： $W$ 中每个元素都是某个元素的像
3. 双射（一一对应）： 既是单射又是满射

定义 4.2（线性变换）

设 $V$ 是数域 $F$ 上的向量空间，$T$ 是 $V$ 到自身的映射，若满足：

1. $T(\alpha + \beta) = T(\alpha) + T(\beta)$（$\forall \alpha, \beta \in V$）

2. $T(k\alpha) = kT(\alpha)$（$\forall k \in F, \alpha \in V$）

则称 $T$ 为 $V$ 上的线性变换。

等价条件： $T(k\alpha + l\beta) = kT(\alpha) + lT(\beta)$

例 4.1 验证下列变换是否为线性变换：

(1) $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$，$T(x, y) = (x+y, x-y)$

解： 设 $\alpha = (x_1, y_1)$，$\beta = (x_2, y_2)$

$T(\alpha + \beta) = T(x_1+x_2, y_1+y_2) = (x_1+x_2+y_1+y_2, x_1+x_2-y_1-y_2) = T(\alpha) + T(\beta)$

$T(k\alpha) = T(kx_1, ky_1) = (kx_1+ky_1, kx_1-ky_1) = k(x_1+y_1, x_1-y_1) = kT(\alpha)$

故 $T$ 是线性变换。

(2) $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$，$T(x, y) = (x+1, y)$

解： $T(0, 0) = (1, 0) \neq (0, 0)$，不满足线性变换性质（线性变换必须将零向量映到零向量），故不是线性变换。

性质 1： $T(0) = 0$，$T(-\alpha) = -T(\alpha)$

性质 2： 保持线性组合关系 $$T(k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + \cdots + k_s\alpha_s) = k_1T(\alpha_1) + k_2T(\alpha_2) + \cdots + k_sT(\alpha_s)$$

性质 3： 线性变换把线性相关的向量组变为线性相关的向量组。

注意： 线性无关的向量组在变换后可能变为线性相关。

定义 4.3 设 $T, S$ 是 $V$ 上的线性变换，$k$ 是数：

1. 加法： $(T + S)(\alpha) = T(\alpha) + S(\alpha)$
2. 数乘： $(kT)(\alpha) = kT(\alpha)$

定理 4.1

$V$ 上所有线性变换组成的集合 $L(V)$，对于上述加法和数乘运算构成向量空间。

定义 4.4（乘积）

设 $T, S \in L(V)$，定义乘积 $TS$ 为：

$$(TS)(\alpha) = T(S(\alpha))$$

性质：

1. 结合律：$(TS)R = T(SR)$
2. 分配律：$T(S+R) = TS + TR$，$(T+S)R = TR + SR$
3. 一般不满足交换律：$TS \neq ST$

定义 4.5（逆变换）

设 $T \in L(V)$，若存在 $S \in L(V)$ 使得

$$TS = ST = I$$

（$I$ 为恒等变换，$I(\alpha) = \alpha$）

则称 $T$ 是可逆的，$S$ 称为 $T$ 的逆变换，记为 $T^{-1}$。

定理 4.2 线性变换 $T$ 可逆的充分必要条件是 $T$ 是双射。

设 $V$ 是 $n$ 维向量空间，$\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ 是 $V$ 的一个基，$T$ 是 $V$ 上的线性变换。

设 $$\begin{cases} T(\alpha_1) = a_{11}\alpha_1 + a_{21}\alpha_2 + \cdots + a_{n1}\alpha_n \\ T(\alpha_2) = a_{12}\alpha_1 + a_{22}\alpha_2 + \cdots + a_{n2}\alpha_n \\ \vdots \\ T(\alpha_n) = a_{1n}\alpha_1 + a_{2n}\alpha_2 + \cdots + a_{nn}\alpha_n \end{cases}$$

定义 4.6（线性变换的矩阵）

矩阵 $A = (a_{ij})_{n \times n}$ 称为线性变换 $T$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ 下的矩阵。

用矩阵表示：$T(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n) = (\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)A$

例 4.2 在 $\mathbb{R}^3$ 中，$T(x, y, z) = (x+y, y+z, z+x)$，求 $T$ 在标准基下的矩阵。

解： $T(1,0,0) = (1,0,1)$，$T(0,1,0) = (1,1,0)$，$T(0,0,1) = (0,1,1)$

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

定理 4.3

在固定基下，线性变换与 $n$ 阶矩阵一一对应，且：

1. 线性变换的和对应矩阵的和
2. 线性变换的积对应矩阵的积
3. 线性变换的数乘对应矩阵的数乘
4. 可逆线性变换对应可逆矩阵，且逆变换对应逆矩阵

定理 4.4

设线性变换 $T$ 在基 $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ 下的矩阵为 $A$，在基 $\beta_1, \ldots, \beta_n$ 下的矩阵为 $B$，从基 $\{\alpha_i\}$ 到基 $\{\beta_i\}$ 的过渡矩阵为 $P$，则

$$B = P^{-1}AP$$

定义 4.7（相似矩阵）

设 $A, B$ 是 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $P$ 使 $B = P^{-1}AP$，则称 $A$ 与 $B$ 相似，记为 $A \sim B$。

相似关系的性质：

1. 自反性：$A \sim A$

2. 对称性：$A \sim B$ ⇒ $B \sim A$

3. 传递性：$A \sim B$，$B \sim C$ ⇒ $A \sim C$

定义 4.8（核）

设 $T \in L(V)$，称集合

$$\ker(T) = \{\alpha \in V : T(\alpha) = 0\}$$

为 $T$ 的核（或零空间）。

定义 4.9（像）

称集合

$$\text{Im}(T) = \{T(\alpha) : \alpha \in V\}$$

为 $T$ 的像（或值域）。

定理 4.5 $\ker(T)$ 和 $\text{Im}(T)$ 都是 $V$ 的子空间。

定义 4.10（秩与零度）

1. $T$ 的秩：$R(T) = \dim \text{Im}(T)$
2. $T$ 的零度：$N(T) = \dim \ker(T)$

定理 4.6（维数定理/秩-零度定理）

设 $T$ 是 $n$ 维向量空间 $V$ 上的线性变换，则

$$R(T) + N(T) = n$$

即：秩 + 零度 = 定义域维数

证明思路： 取 $\ker(T)$ 的基并扩充为 $V$ 的基，证明像空间由剩余基向量的像生成。

定义 4.11（不变子空间）

设 $T \in L(V)$，$W$ 是 $V$ 的子空间，若对任意 $\alpha \in W$ 都有 $T(\alpha) \in W$，则称 $W$ 是 $T$ 的不变子空间。

例 4.3

1. $\{0\}$ 和 $V$ 是任意线性变换的不变子空间（平凡不变子空间）
2. $\ker(T)$ 和 $\text{Im}(T)$ 都是 $T$ 的不变子空间

例题 4.1 设 $T \in L(\mathbb{R}^3)$，$T(x,y,z) = (x+y, 2x-z, y+z)$，求 $T$ 的秩和零度。

解： 标准基下的矩阵

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 2 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$

经计算 $R(A) = 2$，故 $R(T) = 2$，$N(T) = 3 - 2 = 1$。

例题 4.2 证明：相似矩阵有相同的特征多项式。

证明： 设 $B = P^{-1}AP$

$|B - \lambda E| = |P^{-1}AP - \lambda E| = |P^{-1}(A - \lambda E)P| = |P^{-1}||A - \lambda E||P| = |A - \lambda E|$

基础题

1. 判断下列变换是否为线性变换：

(a) $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$，$T(x,y) = (y, x)$

(b) $T: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$，$T(x,y) = (x^2, y)$

2. 设 $T(x,y,z) = (x+y, y-z, z)$，求 $T$ 在标准基下的矩阵。

提高题

3. 设 $T \in L(V)$，$T^2 = T$，证明：(1) $V = \ker(T) \oplus \text{Im}(T)$；(2) $T$ 在适当基下的矩阵为 $\begin{pmatrix} E_r & O \\ O & O \end{pmatrix}$。

4. 设 $A \sim B$，证明：$A^k \sim B^k$，$A^T \sim B^T$。

挑战题

5. 设 $T$ 是 $n$ 维空间 $V$ 上的线性变换，证明以下等价：

(1) $T$ 可逆

(2) $T$ 是单射

(3) $T$ 是满射

(4) $R(T) = n$