本章节主要探讨固体的基本物理性质、力学特征以及弹性力学的基本假设。

虽然一般固体在微观上可以分为晶体 (Crystalline) 和非晶体 (Amorphous) 两种，但工程中常见的普通固体通常属于多晶体 (Polycrystalline)。

• 微观结构：由许许多多的小晶体组成。
• 排列方式：这些小晶体以各种不同的方向杂乱地混合在一起。
• 宏观特性：虽然单个晶体具有各向异性，但由于多晶体的随机排列，从外表上统观地看，它们在宏观上表现为各向同性 (Isotropic)。

物体在不同的载荷条件下（静力 vs 动力），表现出不同的特性。

结论：从静力学观点来看，气体、液体和固体各有不同的特性。

• 低速运动时：气体也可以被当作不可压缩的，其特性与液体差别不大。因此流体力学既适用于气体，也适用于液体。
• 蠕变 (Creep)：固体在外力长期作用下，有时会发生很缓慢的塑性流动，表现得就像粘滞性很大的液体。

注意：这种物体很难严格界定是固体还是液体。因此，在动力学范围内，物质状态的划分与静力学范围内有着不同的意义。

测定一般多晶体固体在外力作用下产生伸长（或压缩）的试验叫做简单拉伸（或压缩）试验。

试验通常使用标准试件进行。

• $L_0$：标准试件中两指定点之间在受力之前的长度（标距）。
• $F_0$：中段上的截面面积。
• $P$：施加的拉力。
• $\Delta L$：加上拉力 $P$ 后，$L_0$ 的伸长量。

根据定义，我们可以得出以下基本物理量：

• 拉伸应力 (Tensile Stress, $\sigma$)：单位面积上的内力。

$$ \sigma = \frac{P}{F_0} $$

• 拉伸应变 (Tensile Strain, $\epsilon$)：单位长度的伸长量。

$$ \epsilon = \frac{\Delta L}{L_0} $$

对于某种材料，其拉伸应力与拉伸应变的比值是一个常数，称为该种材料的杨氏模量（或弹性模量），用符号 $E$ 表示：

$$ E = \frac{\sigma}{\epsilon} = \frac{P L_0}{F_0 \Delta L} \quad (1-3) $$

拉伸（压缩）试验的力学性质常用应力-应变关系曲线来表示。

曲线通常包含以下阶段：

• 弹性阶段：应力与应变成正比。
• 屈服阶段 ($\sigma_y$)：材料发生显著塑性变形。
• 强化阶段：曲线继续上升至最高点 $B$。

许多脆性固体在除去载荷和重复载荷的过程中，其应力-应变路径并不沿直线进行，而是沿着一种回路进行。

• 能量损耗：经过回路一周是要作功的，因此便发生弹性的滞后现象。
• 历史背景：这种现象是 1906 年由哥丁根大学 (Göttingen) 的柏林诺 (Prandtl) 首先发现的。
• 工程意义：滞后现象是材料在振动时破坏的主要因素。

固体在伸长（或压缩）时，不仅长度发生变化，试件的截面也有变形。

• 长度伸长 $\rightarrow$ 截面缩小
• 长度缩短 $\rightarrow$ 截面增加

假如我们定义：

• 横向应变：$\epsilon_y$ 或 $\epsilon_z$
• 纵向应变：$\epsilon_x$

在简单拉伸（压缩）、横向不受力的情况下，横向应变和纵向应变有下列关系：

$$ \frac{\epsilon_y}{\epsilon_x} = -\nu $$

我们称 $\nu$ 为材料的泊松比 (Poisson's ratio)。

• 一般 $\nu$ 的值在 $1/3$ 到 $1/4$ 之间。

固体在剪力载荷作用下发生剪应变。

假设有一个立方体：

1. 截面积为 $F$。
2. 两个面上各受一方向相反、大小相等的剪力 $P$。
3. 材料由立方体变成斜方体。

• 剪应力 ($\tau$)：

$$ \tau = \frac{P}{F} $$

• 剪应变 ($\gamma$)：斜方体的倾斜角。
• 剪力模量 ($\mu$)：

$$ \frac{\tau}{\gamma} = \mu $$

注：当 $\gamma$ 不大时，$\mu$ 一般是一个常数；但当 $\tau$ 超过某一限度时，也会发生屈服现象。

一般固体在静力作用下的力学性质是很复杂的，包含弹性变形、塑性永久变形、蠕变等。为了简化研究，我们引入弹性体的概念：

1. 假设条件：仅研究固体在载荷不大、应变很小的情况。
2. 忽略次要因素：在此情况下，永久变形和蠕变都很小，主要部分是弹性变形。
3. 理想化模型：略去弹性变形以外的变形部分，假定物体在除去载荷后，完全恢复到变形前的原来形状。

我们称这种理想化的固体为弹性体。

从空间平均起来看，弹性体仍旧可以算作是均匀的。在后续研究中，我们常需在弹性体中取出一个微元体来研究其力学性质。

关于这个微元体的大小定义存在辩证关系：

• 数学上：它是一个无穷小量（不能太大），以便应用微积分分析。
• 物理上：它虽不能太大，但也不能太小。它的大小应当大于包括很多小晶体的空间。

目的：只有这样，我们提出的均匀性假设才没有损害，实际的材料当然不可能是完全均匀的，但通过这种统计平均的微元体，我们可以将其视为均匀介质处理。

除了连续性和均匀性，弹性力学通常还包含以下三个基本假设：

• 各向同性 (Isotropy)
  • 假设材料在各个方向上的物理性质（如弹性模量、泊松比）都是相同的。这意味着物体内一点的力学性能与方向无关。
• 线弹性假设 (Linear Elasticity)
  • 假设应力与应变之间满足线性关系（即胡克定律，Hooke's Law）。材料在卸载后能够完全恢复原状，且变形与外力成正比。
• 小变形假设 (Small Deformation)
  • 假设物体受力后的位移和变形量远小于物体自身的尺寸。
  • 在此假设下，建立平衡方程时可以用变形前的几何尺寸代替变形后的尺寸，且应变的高阶微量可以忽略不计（几何线性）。

1. 应力分析
2. 应变分析
3. 应力和应变的关系
4. 弹性体力学问题的建立
5. 弹性力学的一般原理
6. 弹性力学的平面问题
7. 能量法
8. 柱体的扭转与弯曲
9. 薄板问题
10. 接触问题
11. 球体问题
12. 薄壳问题
13. 固体中弹性波的传播