Hilbert空间是完备的内积空间，它结合了内积的几何结构和完备的拓扑结构，是泛函分析中最重要、最优美的空间。Hilbert空间理论在量子力学、傅里叶分析、随机过程等领域有着核心应用。

本章将介绍Hilbert空间的完备性、最佳逼近定理、正交投影定理等核心内容。

定义 10.1（Hilbert空间）完备的内积空间称为Hilbert空间。

例 10.1 $\mathbb{C}^n$和$\mathbb{R}^n$是有限维Hilbert空间。

例 10.2 $l^2$是Hilbert空间。

例 10.3 $L^2(\Omega)$是Hilbert空间（Riesz-Fischer定理）。

例 10.4 $H^1(\Omega)$（Sobolev空间）是Hilbert空间。

定义 10.2（正交）设$H$是内积空间，$x, y \in H$。

(1) 若$\langle x, y \rangle = 0$，称$x$与$y$正交，记作$x \perp y$。

(2) 若$x \perp y$对所有$y \in M$成立，称$x$与集合$M$正交，记作$x \perp M$。

(3) 集合$M^\perp = \{x \in H : x \perp M\}$称为$M$的正交补。

定理 10.1（正交补的性质）

(1) $M^\perp$是$H$的闭子空间；

(2) $M \subseteq N \Rightarrow N^\perp \subseteq M^\perp$；

(3) $M \subseteq (M^\perp)^\perp$；

(4) $M^\perp = (\overline{\text{span} M})^\perp$；

(5) $M \cap M^\perp = \{0\}$或$\emptyset$。

定理 10.2（最佳逼近定理/投影定理）设$H$是Hilbert空间，$M$是$H$的非空闭凸子集。则对任意$x \in H$，存在唯一的$y_0 \in M$使得：

$$\|x - y_0\| = \inf_{y \in M} \|x - y\| = d(x, M)$$

证明：

存在性：设$d = d(x, M)$。取$\{y_n\}$$\subseteq M$使得$\|x - y_n\| \to d$。

由平行四边形公式：

$$\|y_m - y_n\|^2 = 2(\|y_m - x\|^2 + \|y_n - x\|^2) - 4\left\|\frac{y_m + y_n}{2} - x\right\|^2$$

由于$M$凸，$\frac{y_m + y_n}{2} \in M$，故$\|\frac{y_m + y_n}{2} - x\| \geq d$。

$$\|y_m - y_n\|^2 \leq 2(\|y_m - x\|^2 + \|y_n - x\|^2) - 4d^2 \to 0$$

故$\{y_n\}$是Cauchy列，由$H$完备和$M$闭，$y_n \to y_0 \in M$。由范数连续性，$\|x - y_0\| = d$。

唯一性：设$y_0, y_1 \in M$都达到最小距离$d$。由平行四边形公式：

$$\|y_0 - y_1\|^2 = 2(\|y_0 - x\|^2 + \|y_1 - x\|^2) - 4\left\|\frac{y_0 + y_1}{2} - x\right\|^2 \leq 4d^2 - 4d^2 = 0$$

故$y_0 = y_1$。$\square$

定理 10.3（正交投影定理）设$M$是Hilbert空间$H$的闭子空间。则对任意$x \in H$，存在唯一的分解：

$$x = y + z, \quad y \in M, \quad z \in M^\perp$$

即$H = M \oplus M^\perp$（正交直和）。

证明：设$y$是$x$在$M$中的最佳逼近（由定理10.2）。令$z = x - y$，证明$z \in M^\perp$。

对任意$w \in M$和$t \in \mathbb{R}$：

$$f(t) = \|x - (y + tw)\|^2 = \|z - tw\|^2 = \|z\|^2 - 2t\text{Re}\langle z, w \rangle + t^2\|w\|^2$$

由$y$是最小点，$t = 0$是$f$的极小点，故$f'(0) = -2\text{Re}\langle z, w \rangle = 0$。

同理用$it$代替$t$得$\text{Im}\langle z, w \rangle = 0$。故$\langle z, w \rangle = 0$，$z \in M^\perp$。

唯一性：若$x = y_1 + z_1 = y_2 + z_2$，则$y_1 - y_2 = z_2 - z_1 \in M \cap M^\perp = \{0\}$。$\square$

定义 10.3（正交投影算子）定义正交投影算子$P_M: H \to M$为$P_M x = y$，其中$x = y + z$（$y \in M$，$z \in M^\perp$）是正交分解。

定理 10.4（投影算子的性质）

(1) $P_M$是线性算子；

(2) $\|P_M\| = 1$（当$M \neq \{0\}$）；

(3) $P_M^2 = P_M$（幂等）；

(4) $P_M^* = P_M$（自伴，见第十二章）；

(5) $R(P_M) = M$，$N(P_M) = M^\perp$。

定理 10.5 设$M$是Hilbert空间$H$的子空间。则：

(1) $(M^\perp)^\perp = \overline{M}$；

(2) $M$稠密$\Leftrightarrow M^\perp = \{0\}$。

证明：

(1) 显然$\overline{M} \subseteq (M^\perp)^\perp$。反之，设$x \in (M^\perp)^\perp$。由投影定理，$x = y + z$（$y \in \overline{M}$，$z \in \overline{M}^\perp = M^\perp$）。

由于$x \in (M^\perp)^\perp$且$z \in M^\perp$，$\langle x, z \rangle = 0$。但$\langle y, z \rangle = 0$，故$\langle z, z \rangle = 0$，$z = 0$。$\square$

习题 10.1 在$l^2$中，设$M = \{(x_n) : x_{2n} = 0\}$。求$M^\perp$。

习题 10.2 证明：Hilbert空间中的闭子空间都是可补的。

习题 10.3 设$P$是Hilbert空间上的投影算子。证明$\|P\| = 1$或$0$。

习题 10.4 设$\{M_n\}$是一列闭子空间，$M_n \subseteq M_{n+1}$。证明$(\bigcup_n M_n)^\perp = \bigcap_n M_n^\perp$。

习题 10.5 证明：Hilbert空间中的凸闭集有唯一的最近点。

习题 10.6 设$M$是Hilbert空间$H$的真闭子空间。证明$M^\perp$包含非零元。

习题 10.7 设$x_1, \ldots, x_n$是Hilbert空间中线性无关元，求$x_0$到$\text{span}\{x_1, \ldots, x_n\}$的最佳逼近。

习题 10.8 证明：若$M$是Hilbert空间的子空间且$M = M^{\perp\perp}$，则$M$闭。

习题 10.9 设$H = L^2[0,1]$，$M$是常数函数构成的子空间。求$P_M(f)$。

习题 10.10 证明：Hilbert空间严格凸（$\|x\| = \|y\| = 1$，$x \neq y$$\Rightarrow$$\|\frac{x+y}{2}\| < 1$）。

• Hilbert空间的分类（可分与不可分）
• 再生核Hilbert空间（RKHS）
• 框架（Frame）理论

本章是Hilbert空间理论的核心：

1. Hilbert空间是完备的内积空间，具有最佳的几何结构
2. 正交性是Hilbert空间的核心概念
3. 最佳逼近定理保证闭凸集中最近点的存在唯一性
4. 正交投影定理给出空间的正交直和分解
5. Hilbert空间的闭子空间都有正交补，这是其独特优势