度量空间为我们提供了“距离”的概念，但在数学中，我们还需要“代数运算”——特别是加法和数乘。将度量结构与代数结构结合起来，就得到了赋范线性空间——泛函分析的主要研究对象。

赋范线性空间既是向量空间（具有线性结构），又是度量空间（具有拓扑结构），并且这两种结构通过范数相容地联系在一起。本章将介绍赋范线性空间的基本理论，包括范数公理、Banach空间以及收敛性等核心概念。

定义 5.1（范数）设$X$是数域$\mathbb{K}$（$\mathbb{R}$或$\mathbb{C}$）上的线性空间。映射$\|\cdot\|: X \to \mathbb{R}$称为范数，如果对任意$x, y \in X$和$\alpha \in \mathbb{K}$，满足：

(N1) 正定性：$\|x\| \geq 0$，且$\|x\| = 0$当且仅当$x = 0$；

(N2) 齐次性：$\|\alpha x\| = |\alpha| \cdot \|x\|$；

(N3) 三角不等式：$\|x + y\| \leq \|x\| + \|y\|$。

$(X, \|\cdot\|)$称为赋范线性空间（简称赋范空间）。

注记：

1. 范数是向量“长度”或“大小”的抽象
2. 由范数可诱导度量：$d(x, y) = \|x - y\|$
3. 赋范空间自动成为度量空间，具有拓扑结构

定理 5.1 设$(X, \|\cdot\|)$是赋范空间。定义$d(x, y) = \|x - y\|$，则$d$是$X$上的度量。

证明：

(M1) $d(x, y) = \|x - y\| \geq 0$，且$d(x, y) = 0 \Leftrightarrow \|x - y\| = 0 \Leftrightarrow x - y = 0 \Leftrightarrow x = y$

(M2) $d(x, y) = \|x - y\| = \|-(y - x)\| = |-1| \cdot \|y - x\| = \|y - x\| = d(y, x)$

(M3) $d(x, z) = \|x - z\| = \|(x - y) + (y - z)\| \leq \|x - y\| + \|y - z\| = d(x, y) + d(y, z)$

$\square$

定义 5.2（Banach空间）完备的赋范线性空间称为Banach空间。

例 5.1（欧几里得空间$\mathbb{K}^n$）对$x = (x_1, \ldots, x_n) \in \mathbb{K}^n$，定义：

$$\|x\|_p = \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\right)^{1/p}, \quad 1 \leq p < \infty$$

$$\|x\|_\infty = \max_{1 \leq i \leq n} |x_i|$$

$(\mathbb{K}^n, \|\cdot\|_p)$都是Banach空间。

验证$p = 2$时的三角不等式：

$$\|x + y\|_2^2 = \sum_{i=1}^n |x_i + y_i|^2 \leq \sum_{i=1}^n (|x_i| + |y_i|)^2$$

$$= \|x\|_2^2 + 2\sum_{i=1}^n |x_i||y_i| + \|y\|_2^2$$

由Cauchy-Schwarz不等式：

$$\sum_{i=1}^n |x_i||y_i| \leq \left(\sum_{i=1}^n |x_i|^2\right)^{1/2}\left(\sum_{i=1}^n |y_i|^2\right)^{1/2} = \|x\|_2 \|y\|_2$$

故：

$$\|x + y\|_2^2 \leq \|x\|_2^2 + 2\|x\|_2\|y\|_2 + \|y\|_2^2 = (\|x\|_2 + \|y\|_2)^2$$

例 5.2（序列空间$l^p$）对$1 \leq p < \infty$：

$$l^p = \left\{x = (x_n) : x_n \in \mathbb{K}, \sum_{n=1}^\infty |x_n|^p < \infty\right\}$$

$$\|x\|_p = \left(\sum_{n=1}^\infty |x_n|^p\right)^{1/p}$$

$l^\infty$定义为有界序列空间，范数$\|x\|_\infty = \sup_n |x_n|$。

验证$l^p$是Banach空间需要Minkowski不等式。

例 5.3（连续函数空间$C[a,b]$）

$$\|f\|_\infty = \max_{t \in [a,b]} |f(t)|$$

$C[a,b]$在此范数下是Banach空间（由第三章）。

对$1 \leq p < \infty$：

$$\|f\|_p = \left(\int_a^b |f(t)|^p dt\right)^{1/p}$$

$C[a,b]$在此范数下不完备，完备化得到$L^p[a,b]$。

例 5.4（$L^p$空间）设$(\Omega, \mathcal{F}, \mu)$是测度空间：

$$L^p(\Omega) = \left\{f: \Omega \to \mathbb{K} : \int_\Omega |f|^p d\mu < \infty\right\} / \sim$$

其中$f \sim g$当且仅当$f = g$ a.e.。

$$\|f\|_p = \left(\int_\Omega |f|^p d\mu\right)^{1/p}$$

$L^p(\Omega)$是Banach空间（Riesz-Fischer定理）。

定理 5.2（范数的连续性）范数映射$x \mapsto \|x\|$是连续的。即若$x_n \to x$，则$\|x_n\| \to \|x\|$。

证明：由反向三角不等式：

$$|\|x\| - \|y\|| \leq \|x - y\|$$

若$x_n \to x$，则$|\|x_n\| - \|x\|| \leq \|x_n - x\| \to 0$。$\square$

定理 5.3（线性运算的连续性）在赋范空间中：

(1) 加法$(x, y) \mapsto x + y$是$X \times X \to X$的连续映射；

(2) 数乘$(\alpha, x) \mapsto \alpha x$是$\mathbb{K} \times X \to X$的连续映射。

证明：

(1) 若$x_n \to x$，$y_n \to y$，则：

$$\|(x_n + y_n) - (x + y)\| \leq \|x_n - x\| + \|y_n - y\| \to 0$$

(2) 若$\alpha_n \to \alpha$，$x_n \to x$，则：

$$\|\alpha_n x_n - \alpha x\| = \|\alpha_n(x_n - x) + (\alpha_n - \alpha)x\|$$

$$\leq |\alpha_n| \|x_n - x\| + |\alpha_n - \alpha| \|x\| \to 0$$

$\square$

定义 5.3 设$(X, \|\cdot\|)$是赋范空间，$x_0 \in X$，$r > 0$。

(1) 开球：$B(x_0, r) = \{x \in X : \|x - x_0\| < r\}$

(2) 闭球：$\bar{B}(x_0, r) = \{x \in X : \|x - x_0\| \leq r\}$

(3) 单位球：$B_X = B(0, 1) = \{x : \|x\| < 1\}$

(4) 单位球面：$S_X = \{x : \|x\| = 1\}$

定义 5.4（有界集）子集$A \subseteq X$称为有界的，如果存在$M > 0$使得对所有$x \in A$，$\|x\| \leq M$。

等价地，$A$有界当且仅当$A$包含在某个球中。

定义 5.5（等价范数）设$\|\cdot\|_1$和$\|\cdot\|_2$是线性空间$X$上的两个范数。如果存在常数$c_1, c_2 > 0$，使得对所有$x \in X$：

$$c_1 \|x\|_1 \leq \|x\|_2 \leq c_2 \|x\|_1$$

则称$\|\cdot\|_1$与$\|\cdot\|_2$等价。

注记：等价范数诱导相同的拓扑（相同的开集、收敛性等）。

定理 5.4 有限维线性空间上的任意两个范数都等价。

证明：设$X$是$n$维空间，$\{e_1, \ldots, e_n\}$是一组基。

对$x = \sum_{i=1}^n \xi_i e_i$，定义$\|x\|_0 = \sum_{i=1}^n |\xi_i|$（$l^1$范数）。

设$\|\cdot\|$是$X$上任意范数。则：

$$\|x\| = \left\|\sum_{i=1}^n \xi_i e_i\right\| \leq \sum_{i=1}^n |\xi_i| \|e_i\| \leq M \sum_{i=1}^n |\xi_i| = M \|x\|_0$$

其中$M = \max_i \|e_i\|$。

考虑单位球面$S = \{x : \|x\|_0 = 1\}$（$\mathbb{K}^n$中的紧集）。映射$\phi: (\xi_1, \ldots, \xi_n) \mapsto \|\sum \xi_i e_i\|$连续，在紧集$S$上达到最小值$m > 0$（因范数正定）。

对任意$x \neq 0$，$x/\|x\|_0 \in S$，故$\|x/\|x\|_0\| \geq m$，即$\|x\| \geq m \|x\|_0$。

综上，$m \|x\|_0 \leq \|x\| \leq M \|x\|_0$，$\|\cdot\|$与$\|\cdot\|_0$等价。$\square$

推论 5.1 有限维赋范空间是Banach空间。

推论 5.2 有限维赋范空间中的有界闭集是紧集。

定义 5.6（强收敛）设$\{x_n\}$$\subseteq X$，$x \in X$。如果$\|x_n - x\| \to 0$（$n \to \infty$），则称$\{x_n\}$**强收敛**（或**按范数收敛**）于$x$，记作$x_n \to x$或$x_n \xrightarrow{s} x$。

定义 5.7（级数收敛）设$\{x_n\}$$\subseteq X$。级数$\sum_{n=1}^\infty x_n$称为**收敛**的，如果部分和$S_N = \sum_{n=1}^N x_n$收敛。

级数称为绝对收敛的，如果$\sum_{n=1}^\infty \|x_n\| < \infty$。

定理 5.5 Banach空间中，绝对收敛$\Rightarrow$收敛。

证明：设$\sum_{n=1}^\infty \|x_n\| < \infty$。对$m > n$：

$$\|S_m - S_n\| = \left\|\sum_{k=n+1}^m x_k\right\| \leq \sum_{k=n+1}^m \|x_k\| \to 0$$

故$\{S_N\}$是Cauchy列，由完备性收敛。$\square$

注记：反之，若空间中每个绝对收敛级数都收敛，则空间完备。

定义 5.8（Schauder基）设$X$是Banach空间。序列$\{e_n\}_{n=1}^\infty \subseteq X$称为$X$的Schauder基，如果对每个$x \in X$，存在唯一的标量序列$\{\alpha_n\}$使得：

$$x = \sum_{n=1}^\infty \alpha_n e_n$$

注记：

1. 有Schauder基的空间必可分
2. 不是所有可分Banach空间都有Schauder基（Enflo, 1973）
3. $l^p$（$1 \leq p < \infty$）有标准基$e_n = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)$

习题 5.1 验证$\|x\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|$和$\|x\|_\infty = \max_i |x_i|$是$\mathbb{R}^n$上的范数。

习题 5.2 证明$C[0,1]$在$\|f\|_1 = \int_0^1 |f(t)|dt$下不完备。

习题 5.3 设$X$是赋范空间，证明单位闭球$\bar{B}(0,1)$是凸集。

习题 5.4 证明：赋范空间$X$完备当且仅当每个绝对收敛级数都收敛。

习题 5.5 设$\|\cdot\|_1$和$\|\cdot\|_2$是$X$上的等价范数。证明$(X, \|\cdot\|_1)$完备当且仅当$(X, \|\cdot\|_2)$完备。

习题 5.6 证明$l^p$（$1 \leq p < \infty$）可分。

习题 5.7 设$X$是赋范空间，$Y$是$X$的闭子空间。证明$Y$也是赋范空间（诱导范数），且若$X$完备则$Y$完备。

习题 5.8 构造一个不完备的赋范空间的例子。

习题 5.9 证明：$\|x\| = \max(|x_1|, |x_2|)$和$\|x\|_1 = |x_1| + |x_2|$在$\mathbb{R}^2$上等价，并求等价常数。

习题 5.10 设$\{x_n\}$是Banach空间$X$中的序列，$\sum_{n=1}^\infty \|x_n\| < \infty$。证明$\sum_{n=1}^\infty x_n$收敛且$\left\|\sum_{n=1}^\infty x_n\right\| \leq \sum_{n=1}^\infty \|x_n\|$。

• 拟范数与Fréchet空间
• 局部凸空间
• 无条件基与对称基

本章介绍了赋范线性空间的基础理论：

1. 范数公理（正定性、齐次性、三角不等式）定义了向量的“大小”
2. 范数诱导度量，赋范空间自然成为度量空间
3. Banach空间是完备的赋范空间，是泛函分析的主要舞台
4. 有限维空间上所有范数等价，具有特殊的拓扑性质
5. 强收敛（按范数收敛）是最自然的收敛概念