线性算子是泛函分析的核心研究对象。与有限维情形不同，无限维空间上的线性算子可能无界（不连续），这给理论带来了丰富的结构和挑战。有界线性算子具有良好的性质，构成了Banach代数的基础。

本章将系统介绍有界线性算子的基本理论，包括算子范数、Banach代数、以及三大基本定理中的逆算子定理。

定义 8.1（线性算子）设$X, Y$是同一数域$\mathbb{K}$上的线性空间。映射$T: X \to Y$称为线性算子，如果对任意$x_1, x_2 \in X$和$\alpha \in \mathbb{K}$：

1. $T(x_1 + x_2) = Tx_1 + Tx_2$（可加性）
2. $T(\alpha x_1) = \alpha Tx_1$（齐次性）

等价地，$T(\alpha x_1 + \beta x_2) = \alpha Tx_1 + \beta Tx_2$。

定义 8.2（有界线性算子）设$X, Y$是赋范空间。线性算子$T: X \to Y$称为有界的，如果存在$M > 0$使得对所有$x \in X$：

$$\|Tx\| \leq M \|x\|$$

等价地，$T$将$X$中的有界集映为$Y$中的有界集。

定义 8.3（算子范数）有界线性算子$T$的范数定义为：

$$\|T\| = \sup_{x \neq 0} \frac{\|Tx\|}{\|x\|} = \sup_{\|x\| = 1} \|Tx\| = \sup_{\|x\| \leq 1} \|Tx\|$$

定理 8.1 设$T: X \to Y$是线性算子，以下条件等价：

(1) $T$有界；

(2) $T$在某一点连续；

(3) $T$在$X$上连续（一致连续）；

(4) $T$将$X$的单位球映为有界集。

证明：

$(1) \Rightarrow (3)$：若$\|Tx\| \leq M\|x\|$，则对$x_n \to x$：

$$\|Tx_n - Tx\| = \|T(x_n - x)\| \leq M\|x_n - x\| \to 0$$

$(3) \Rightarrow (2)$：显然。

$(2) \Rightarrow (1)$：设$T$在$x_0$连续。存在$\delta > 0$使得当$\|x - x_0\| < \delta$时$\|Tx - Tx_0\| < 1$。

对$\|y\| < \delta$，$\|(x_0 + y) - x_0\| = \|y\| < \delta$，故：

$$\|Ty\| = \|T(x_0 + y) - Tx_0\| < 1$$

对任意$x \neq 0$，$\|\frac{\delta x}{2\|x\|}\| = \frac{\delta}{2} < \delta$，故：

$$\left\|T\left(\frac{\delta x}{2\|x\|}\right)\right\| < 1 \Rightarrow \|Tx\| < \frac{2}{\delta}\|x\|$$

$\square$

注记：在无限维空间中，存在线性但无界的算子。

例 8.1（微分算子）设$X = C^1[0,1]$（连续可微函数），$Y = C[0,1]$，都赋予上确界范数。定义：

$$(Tf)(t) = f'(t)$$

考虑$f_n(t) = \sin(nt)$，则$\|f_n\|_\infty = 1$，但$\|Tf_n\|_\infty = n$。故$T$无界。

若将$X$的范数改为$\|f\| = \|f\|_\infty + \|f'\|_\infty$，则$T$有界且$\|T\| \leq 1$。

定义 8.4 记$\mathcal{B}(X, Y)$为从$X$到$Y$的所有有界线性算子构成的集合。

定理 8.2 $\mathcal{B}(X, Y)$是线性空间，$\|\cdot\|$是其上的范数。

定理 8.3 若$Y$是Banach空间，则$\mathcal{B}(X, Y)$是Banach空间。

证明：设$\{T_n\}$是$\mathcal{B}(X, Y)$中的Cauchy列。对每个$x \in X$：

$$\|T_n x - T_m x\| \leq \|T_n - T_m\| \|x\| \to 0$$

故$\{T_n x\}$是$Y$中的Cauchy列，收敛于某点，记为$Tx$。

可验证$T$线性。对$\|x\| \leq 1$：

$$\|Tx\| = \lim_{n \to \infty} \|T_n x\| \leq \limsup_{n \to \infty} \|T_n\| < \infty$$

故$T$有界。$\square$

例 8.2（矩阵算子）设$T: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$，$Tx = Ax$（$A$是$m \times n$矩阵）。则：

$$\|T\| = \sup_{\|x\|_2 = 1} \|Ax\|_2 = \sqrt{\lambda_{\max}(A^TA)}$$

即$A$的最大奇异值。

例 8.3（积分算子）设$K \in C([a,b] \times [a,b])$，

$$(Tf)(x) = \int_a^b K(x,y)f(y)dy$$

则$T: C[a,b] \to C[a,b]$（上确界范数）有界，且：

$$\|T\| \leq \max_{x \in [a,b]} \int_a^b |K(x,y)|dy$$

若$K(x,y) \geq 0$，则等号成立。

例 8.4（移位算子）在$l^2$上定义右移算子：

$$S(x_1, x_2, x_3, \ldots) = (0, x_1, x_2, \ldots)$$

则$\|S\| = 1$（$\|Sx\|_2 = \|x\|_2$），但$S$不是满射。

左移算子：

$$T(x_1, x_2, x_3, \ldots) = (x_2, x_3, x_4, \ldots)$$

$\|T\| = 1$，$T$是满射但不是单射。

定义 8.5（Banach代数）赋范代数$\mathcal{A}$称为Banach代数，如果：

(1) $\mathcal{A}$是Banach空间；

(2) $\|xy\| \leq \|x\|\|y\|$对所有$x, y \in \mathcal{A}$。

若存在单位元$e$满足$ex = xe = x$且$\|e\| = 1$，称为含单位元的Banach代数。

例 8.5 $\mathcal{B}(X) = \mathcal{B}(X, X)$是含单位元的Banach代数，单位元是恒等算子$I$。

例 8.6 $C(K)$（紧Hausdorff空间$K$上的连续函数）是上确界范数下的Banach代数，乘法为逐点相乘。

例 8.7 $L^\infty(\Omega)$是本质有界可测函数构成的Banach代数。

定义 8.6（谱）设$\mathcal{A}$是含单位元的Banach代数，$x \in \mathcal{A}$。

(1) 预解集：$\rho(x) = \{\lambda \in \mathbb{C} : \lambda e - x \text{ 可逆}\}$

(2) 谱：$\sigma(x) = \mathbb{C} \setminus \rho(x)$

(3) 谱半径：$r(x) = \sup\{|\lambda| : \lambda \in \sigma(x)\}$

定理 8.4（谱的非空性）设$\mathcal{A}$是含单位元的复Banach代数，$x \in \mathcal{A}$。则$\sigma(x)$是非空紧集，且：

$$r(x) = \lim_{n \to \infty} \|x^n\|^{1/n}$$

注记：这是Gelfand谱理论的基础，将在第十六章详细讨论。

定理 8.5（逆算子定理/Banach定理）设$X, Y$是Banach空间，$T \in \mathcal{B}(X, Y)$是双射。则$T^{-1} \in \mathcal{B}(Y, X)$。

注记：这意味着从Banach空间到Banach空间的连续线性双射，其逆也自动连续。这是有限维情形的推广，但证明需要深刻的工具（Baire纲定理）。

定理 8.6（等价范数定理）设$X$是线性空间，$\|\cdot\|_1$和$\|\cdot\|_2$是$X$上的范数，都使$X$成为Banach空间。若存在$c > 0$使得$\|x\|_2 \leq c\|x\|_1$，则两范数等价。

证明：考虑恒等映射$I: (X, \|\cdot\|_1) \to (X, \|\cdot\|_2)$。$I$有界，由逆算子定理$I^{-1}$有界，故存在$c' > 0$使得$\|x\|_1 \leq c'\|x\|_2$。$\square$

定理 8.7（开映射定理）设$X, Y$是Banach空间，$T \in \mathcal{B}(X, Y)$是满射。则$T$是开映射（将开集映为开集）。

注记：逆算子定理是开映射定理的推论：若$T$双射，则$T$将开集映为开集，故$T^{-1}$连续。

定义 8.7（闭算子）线性算子$T: D(T) \subseteq X \to Y$称为闭算子，如果其图像

$$G(T) = \{(x, Tx) : x \in D(T)\}$$

是$X \times Y$中的闭集。

等价地，若$x_n \to x$，$Tx_n \to y$，则$x \in D(T)$且$Tx = y$。

定理 8.8（闭图像定理）设$X, Y$是Banach空间，$T: X \to Y$是线性算子。若$T$是闭算子，则$T$有界。

证明：$G(T)$是Banach空间$X \times Y$的闭子空间，故是Banach空间。投影$P: G(T) \to X$，$P(x, Tx) = x$是有界双射。由逆算子定理，$P^{-1}$有界，故$T$有界。$\square$

定理 8.9（共鸣定理/一致有界原理）设$X$是Banach空间，$Y$是赋范空间，$\{T_\alpha\}_{\alpha \in I} \subseteq \mathcal{B}(X, Y)$。如果对每个$x \in X$，

$$\sup_{\alpha \in I} \|T_\alpha x\| < \infty$$

则

$$\sup_{\alpha \in I} \|T_\alpha\| < \infty$$

注记：逐点有界$\Rightarrow$一致有界。这是Baire纲定理的重要应用。

推论 8.1 设$\{T_n\} \subseteq \mathcal{B}(X, Y)$，对每个$x \in X$，$\{T_n x\}$收敛。则存在$T \in \mathcal{B}(X, Y)$使得$T_n \to T$（强算子拓扑）。

习题 8.1 设$T: l^2 \to l^2$，$T(x_1, x_2, \ldots) = (x_1, x_2/2, x_3/3, \ldots)$。求$\|T\|$。

习题 8.2 证明$\|T\| = \sup_{\|x\|=\|y\|=1} |\langle Tx, y\rangle|$（Hilbert空间情形）。

习题 8.3 设$T \in \mathcal{B}(X, Y)$。证明$\|T\| = \inf\{M : \|Tx\| \leq M\|x\|, \forall x\}$。

习题 8.4 设$X$是Banach空间，$T \in \mathcal{B}(X)$，$\|I - T\| < 1$。证明$T$可逆。

习题 8.5 构造一个无界闭算子的例子。

习题 8.6 证明：有限维空间之间的线性算子必是有界的。

习题 8.7 设$T \in \mathcal{B}(X, Y)$，$S \in \mathcal{B}(Y, Z)$。证明$\|ST\| \leq \|S\|\|T\|$。

习题 8.8 设$\{T_n\} \subseteq \mathcal{B}(X, Y)$使得对每个$x$，$\{T_n x\}$是Cauchy列。若$Y$完备，证明存在$T \in \mathcal{B}(X, Y)$使得$T_n x \to Tx$。

习题 8.9 证明：若$T: X \to Y$是线性等距（$\|Tx\| = \|x\|$）且满射，则$T$是等距同构。

习题 8.10 设$X$是Banach空间，$P \in \mathcal{B}(X)$是投影（$P^2 = P$）。证明$R(P)$闭且$X = R(P) \oplus N(P)$。

• 紧算子理论
• Fredholm算子与指标定理
• 无界算子的谱理论
• C*-代数简介

本章是有界线性算子的理论基础：

1. 有界线性算子=连续线性算子，算子范数量化其“大小”
2. $\mathcal{B}(X, Y)$在算子范数下是Banach空间（当$Y$完备时）
3. Banach代数是赋范代数与完备性的结合，$\mathcal{B}(X)$是典型例子
4. 逆算子、开映射、闭图像、共鸣四大定理是泛函分析的基石
5. 这些定理深刻揭示了Banach空间的结构性质