在数学分析中，我们研究实数集$\mathbb{R}$上的极限、连续等概念，这些概念都依赖于实数之间的距离。例如，两个实数$x$和$y$之间的距离定义为$|x - y|$。在更高维的欧几里得空间$\mathbb{R}^n$中，两点$x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$和$y = (y_1, y_2, \ldots, y_n)$之间的距离定义为：

$$d(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - y_i)^2}$$

这个距离满足以下三条基本性质：

1. 非负性：$d(x, y) \geq 0$，且$d(x, y) = 0$当且仅当$x = y$
2. 对称性：$d(x, y) = d(y, x)$
3. 三角不等式：$d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$

泛函分析的一个基本思想是将这些性质抽象出来，在更一般的集合上定义“距离”，从而建立统一的理论框架。这就是度量空间的概念。

定义 1.1（度量空间）设$X$是一个非空集合，$d: X \times X \to \mathbb{R}$是一个映射。如果对于任意的$x, y, z \in X$，满足以下三条公理：

(M1) 非负性（正定性）：$d(x, y) \geq 0$，且$d(x, y) = 0$当且仅当$x = y$；

(M2) 对称性：$d(x, y) = d(y, x)$；

(M3) 三角不等式：$d(x, z) \leq d(x, y) + d(y, z)$，

则称$d$为$X$上的一个距离函数（或度量），称$(X, d)$为一个度量空间，在不致混淆的情况下，简称$X$为度量空间。

注记：

1. 度量空间的定义只涉及集合和满足特定条件的实值函数，不涉及代数运算
2. 同一个集合上可以定义不同的距离，形成不同的度量空间
3. 距离$d(x, y)$可以理解为从点$x$到点$y$的“代价”或“长度”

例 1.1（离散度量空间）设$X$是任一非空集合，定义：

$$d(x, y) = \begin{cases} 0, & x = y \\ 1, & x \neq y \end{cases}$$

验证$d$满足度量公理：

1. (M1) 显然成立
2. (M2) 由定义直接得到
3. (M3) 若$x = z$，则$d(x, z) = 0 \leq d(x, y) + d(y, z)$成立；若$x \neq z$，则$x \neq y$和$y \neq z$至少有一个成立，故$d(x, y) + d(y, z) \geq 1 = d(x, z)$

这个度量称为离散度量，$(X, d)$称为离散度量空间。

例 1.2（欧几里得空间$\mathbb{R}^n$）在$\mathbb{R}^n$上定义：

$$d_2(x, y) = \left(\sum_{i=1}^{n}|x_i - y_i|^2\right)^{1/2}$$

这是标准的欧几里得距离。验证三角不等式需要用到Cauchy-Schwarz不等式。

Cauchy-Schwarz不等式：对于$a_i, b_i \in \mathbb{R}$，有：

$$\left|\sum_{i=1}^{n}a_i b_i\right| \leq \left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)^{1/2}\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)^{1/2}$$

三角不等式的证明：设$x, y, z \in \mathbb{R}^n$，记$a_i = x_i - y_i$，$b_i = y_i - z_i$，则$x_i - z_i = a_i + b_i$。

$$\begin{align}d_2(x, z)^2 &= \sum_{i=1}^{n}(a_i + b_i)^2 \\&= \sum_{i=1}^{n}a_i^2 + 2\sum_{i=1}^{n}a_i b_i + \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \\&\leq \sum_{i=1}^{n}a_i^2 + 2\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)^{1/2}\left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)^{1/2} + \sum_{i=1}^{n}b_i^2 \\&= \left(\left(\sum_{i=1}^{n}a_i^2\right)^{1/2} + \left(\sum_{i=1}^{n}b_i^2\right)^{1/2}\right)^2 \\&= (d_2(x, y) + d_2(y, z))^2\end{align}$$ 两边开方即得三角不等式。 **例 1.3**（$\mathbb{R}^n$上的其他度量）在$\mathbb{R}^n$上还可以定义其他度量：

(1) 曼哈顿距离（$l^1$度量）： $$d_1(x, y) = \sum_{i=1}^{n}|x_i - y_i|$$

(2) 最大范数距离（$l^\infty$度量）： $$d_\infty(x, y) = \max_{1 \leq i \leq n}|x_i - y_i|$$

(3) $l^p$度量（$1 \leq p < \infty$）： $$d_p(x, y) = \left(\sum_{i=1}^{n}|x_i - y_i|^p\right)^{1/p}$$

验证$d_p$满足三角不等式需要用到Minkowski不等式。

命题 1.1 对于$1 \leq p \leq \infty$，$d_p$都是$\mathbb{R}^n$上的度量，且这些度量是等价的（即它们诱导相同的拓扑）。

例 1.4（序列空间$l^p$）设$1 \leq p < \infty$，定义：

$$l^p = \left\{x = (x_n)_{n=1}^\infty : x_n \in \mathbb{C}, \sum_{n=1}^\infty|x_n|^p < \infty\right\}$$

在$l^p$上定义距离：

$$d_p(x, y) = \left(\sum_{n=1}^\infty|x_n - y_n|^p\right)^{1/p}$$

$(l^p, d_p)$是度量空间。这个空间在泛函分析中极为重要。

同样定义：

$$l^\infty = \left\{x = (x_n)_{n=1}^\infty : x_n \in \mathbb{C}, \sup_{n}|x_n| < \infty\right\}$$

$$d_\infty(x, y) = \sup_{n}|x_n - y_n|$$

例 1.5（连续函数空间$C[a,b]$）设$[a, b]$是闭区间，定义：

$$C[a,b] = \left\{f: [a,b] \to \mathbb{R} : f \text{ 在 } [a,b] \text{ 上连续}\right\}$$

在$C[a,b]$上可以定义多种度量：

(1) 一致收敛度量： $$d_\infty(f, g) = \max_{t \in [a,b]}|f(t) - g(t)|$$

(2) $L^p$度量： $$d_p(f, g) = \left(\int_a^b|f(t) - g(t)|^p dt\right)^{1/p}, \quad 1 \leq p < \infty$$

验证$d_\infty$是度量：

1. (M1) 显然$d_\infty(f, g) \geq 0$。若$d_\infty(f, g) = 0$，则对所有$t \in [a,b]$，$f(t) = g(t)$，即$f = g$
2. (M2) 对称性显然
3. (M3) 对任意$t \in [a,b]$：

$$|f(t) - h(t)| \leq |f(t) - g(t)| + |g(t) - h(t)| \leq d_\infty(f,g) + d_\infty(g,h)$$

取上确界即得三角不等式

例 1.6（函数空间$L^p[a,b]$）设$1 \leq p < \infty$，定义：

$$L^p[a,b] = \left\{f: [a,b] \to \mathbb{R} : \int_a^b|f(t)|^p dt < \infty\right\}$$

这里积分是Lebesgue积分。在$L^p[a,b]$上定义：

$$d_p(f, g) = \left(\int_a^b|f(t) - g(t)|^p dt\right)^{1/p}$$

严格来说，$d_p(f, g) = 0$只意味着$f = g$几乎处处成立，因此需要将几乎处处相等的函数等同看待。

在度量空间中，我们可以自然地推广实数轴上开区间和闭区间的概念。

定义 1.2（开球与闭球）设$(X, d)$是度量空间，$x_0 \in X$，$r > 0$。

(1) 集合 $$B(x_0, r) = \{x \in X : d(x, x_0) < r\}$$ 称为以$x_0$为中心、$r$为半径的开球（或$r$-邻域）。

(2) 集合 $$\bar{B}(x_0, r) = \{x \in X : d(x, x_0) \leq r\}$$ 称为以$x_0$为中心、$r$为半径的闭球。

(3) 集合 $$S(x_0, r) = \{x \in X : d(x, x_0) = r\}$$ 称为以$x_0$为中心、$r$为半径的球面。

例 1.7 在$\mathbb{R}^2$中：

1. 欧几里得度量$d_2$对应的开球是圆形区域
2. 曼哈顿度量$d_1$对应的开球是菱形（旋转45度的正方形）
3. 最大范数度量$d_\infty$对应的开球是正方形

定义 1.3（开集）设$(X, d)$是度量空间，子集$G \subseteq X$称为开集，如果对每个$x \in G$，存在$r > 0$，使得$B(x, r) \subseteq G$。

换句话说，开集中的每一点都是该集合的“内点”，存在一个完全包含在该集合内的开球。

定义 1.4（闭集）子集$F \subseteq X$称为闭集，如果它的补集$X \setminus F$是开集。

定理 1.1（开集的基本性质）设$(X, d)$是度量空间：

(1) 空集$\emptyset$和全集$X$都是开集；

(2) 任意多个开集的并集是开集；

(3) 有限多个开集的交集是开集。

证明：

(1) 空集是开集（ vacuously true）。对任意$x \in X$，$B(x, 1) \subseteq X$，故$X$是开集。

(2) 设$\{G_\alpha\}_{\alpha \in I}$是一族开集，令$G = \bigcup_{\alpha \in I} G_\alpha$。对任意$x \in G$，存在$\alpha_0$使得$x \in G_{\alpha_0}$。由于$G_{\alpha_0}$是开集，存在$r > 0$使得$B(x, r) \subseteq G_{\alpha_0} \subseteq G$。故$G$是开集。

(3) 设$G_1, G_2, \ldots, G_n$是开集，令$G = \bigcap_{i=1}^{n} G_i$。对任意$x \in G$，则对每个$i = 1, 2, \ldots, n$，有$x \in G_i$。由于$G_i$是开集，存在$r_i > 0$使得$B(x, r_i) \subseteq G_i$。取$r = \min\{r_1, r_2, \ldots, r_n\} > 0$，则$B(x, r) \subseteq B(x, r_i) \subseteq G_i$对所有$i$成立，故$B(x, r) \subseteq G$。因此$G$是开集。$\square$

注记：无限多个开集的交集不一定是开集。例如，在$\mathbb{R}$中，$\bigcap_{n=1}^{\infty}(-1/n, 1/n) = \{0\}$不是开集。

定理 1.2（闭集的基本性质）设$(X, d)$是度量空间：

(1) 空集$\emptyset$和全集$X$都是闭集；

(2) 任意多个闭集的交集是闭集；

(3) 有限多个闭集的并集是闭集。

证明：由de Morgan律和开集的性质直接得到。$\square$

定理 1.3 开球是开集，闭球是闭集。

证明：设$B(x_0, r)$是开球。对任意$x \in B(x_0, r)$，有$d(x, x_0) < r$。令$\delta = r - d(x, x_0) > 0$。对任意$y \in B(x, \delta)$，由三角不等式：

$$d(y, x_0) \leq d(y, x) + d(x, x_0) < \delta + d(x, x_0) = r$$

故$B(x, \delta) \subseteq B(x_0, r)$，$B(x_0, r)$是开集。

对于闭球，设$F = \{x : d(x, x_0) > r\}$为$\bar{B}(x_0, r)$的补集。对任意$x \in F$，$d(x, x_0) > r$，令$\delta = d(x, x_0) - r > 0$。对任意$y \in B(x, \delta)$：

$$d(x, x_0) \leq d(x, y) + d(y, x_0) < \delta + d(y, x_0)$$

故$d(y, x_0) > d(x, x_0) - \delta = r$，即$y \in F$。因此$F$是开集，$\bar{B}(x_0, r)$是闭集。$\square$

定义 1.5（邻域）设$(X, d)$是度量空间，$x \in X$。包含$x$的任一开集称为$x$的一个邻域。

特别地，开球$B(x, r)$（其中$r > 0$）称为$x$的一个球形邻域或$r$-邻域。

注记：

1. 邻域的概念比开球更一般，任何包含$x$的开集都是$x$的邻域
2. 若$U$是$x$的邻域，则存在$r > 0$使得$B(x, r) \subseteq U$

定义 1.6（点列的极限）设$(X, d)$是度量空间，$\{x_n\}_{n=1}^\infty$是$X$中的点列，$x_0 \in X$。如果对任意$\epsilon > 0$，存在正整数$N$，使得当$n \geq N$时，有：

$$d(x_n, x_0) < \epsilon$$

则称点列$\{x_n\}$收敛于$x_0$，$x_0$称为$\{x_n\}$的极限，记作：

$$\lim_{n \to \infty} x_n = x_0 \quad \text{或} \quad x_n \to x_0 \, (n \to \infty)$$

等价地，$x_n \to x_0$当且仅当$\lim_{n \to \infty} d(x_n, x_0) = 0$。

定理 1.4（极限的唯一性）在度量空间中，收敛点列的极限是唯一的。

证明：设$\{x_n\}$是度量空间$(X, d)$中的点列，且$x_n \to x$，$x_n \to y$。则对任意$\epsilon > 0$，存在$N_1, N_2$使得：

1. 当$n \geq N_1$时，$d(x_n, x) < \epsilon/2$
2. 当$n \geq N_2$时，$d(x_n, y) < \epsilon/2$

取$N = \max\{N_1, N_2\}$，当$n \geq N$时：

$$d(x, y) \leq d(x, x_n) + d(x_n, y) < \frac{\epsilon}{2} + \frac{\epsilon}{2} = \epsilon$$

由于$\epsilon > 0$是任意的，故$d(x, y) = 0$，即$x = y$。$\square$

定理 1.5（极限的$\epsilon-N$刻画）设$F \subseteq X$，则$F$是闭集当且仅当：若$\{x_n\} \subseteq F$且$x_n \to x$，则$x \in F$。

证明：

（$\Rightarrow$）设$F$是闭集，$\{x_n\} \subseteq F$，$x_n \to x$。假设$x \notin F$，则$x \in X \setminus F$。由于$X \setminus F$是开集，存在$r > 0$使得$B(x, r) \subseteq X \setminus F$。但由于$x_n \to x$，存在$N$使得当$n \geq N$时$d(x_n, x) < r$，即$x_n \in B(x, r) \subseteq X \setminus F$，与$x_n \in F$矛盾。

（$\Leftarrow$）设$F$满足条件，证明$X \setminus F$是开集。对任意$x \in X \setminus F$，若对任意$n$，$B(x, 1/n) \cap F \neq \emptyset$，则可取$x_n \in B(x, 1/n) \cap F$。于是$d(x_n, x) < 1/n \to 0$，即$x_n \to x$。由条件$x \in F$，矛盾。故存在$n_0$使得$B(x, 1/n_0) \cap F = \emptyset$，即$B(x, 1/n_0) \subseteq X \setminus F$。因此$X \setminus F$是开集，$F$是闭集。$\square$

定义 1.7（闭包）设$A \subseteq X$，$A$的闭包定义为：

$$\bar{A} = \bigcap\{F : F \supseteq A, F \text{ 是闭集}\}$$

等价地，$\bar{A} = \{x \in X : \forall r > 0, B(x, r) \cap A \neq \emptyset\}$。

定理 1.6 $x \in \bar{A}$当且仅当存在$\{x_n\} \subseteq A$使得$x_n \to x$。

定义 1.8（等价度量）设$d_1$和$d_2$是集合$X$上的两个度量。如果它们诱导相同的开集族（即相同的拓扑），则称$d_1$和$d_2$等价。

定理 1.7（等价度量的判定）$d_1$和$d_2$等价当且仅当：对任意$x \in X$和$r > 0$，存在$r_1, r_2 > 0$使得：

$$B_{d_1}(x, r_1) \subseteq B_{d_2}(x, r), \quad B_{d_2}(x, r_2) \subseteq B_{d_1}(x, r)$$

定理 1.8 在$\mathbb{R}^n$上，$d_p$度量（$1 \leq p \leq \infty$）都是等价的。

证明：只需证明对任意$p, q \in [1, \infty]$，$d_p$与$d_q$等价。不妨设$1 \leq p < q \leq \infty$。

对于$x \in \mathbb{R}^n$：

$$\|x\|_\infty \leq \|x\|_p \leq n^{1/p} \|x\|_\infty$$

$$\|x\|_q \leq \|x\|_p \leq n^{1/p - 1/q} \|x\|_q \quad (p < q < \infty)$$

这些不等式表明不同$p$范数诱导的度量在$\mathbb{R}^n$上是等价的。$\square$

定义 1.9（子空间）设$(X, d)$是度量空间，$Y \subseteq X$是非空子集。定义$d_Y: Y \times Y \to \mathbb{R}$为：

$$d_Y(x, y) = d(x, y), \quad \forall x, y \in Y$$

则$d_Y$是$Y$上的度量，$(Y, d_Y)$称为$X$的度量子空间（简称子空间）。

定理 1.9 设$Y$是$X$的子空间，$G \subseteq Y$。则$G$是$Y$中的开集当且仅当存在$X$中的开集$U$使得$G = U \cap Y$。

定义 1.10（稠密集）设$A, B \subseteq X$。如果$\bar{A} \supseteq B$，则称$A$在$B$中稠密。特别地，如果$\bar{A} = X$，称$A$在$X$中稠密。

定义 1.11（可分空间）度量空间$X$称为可分的，如果存在可数稠密子集。

定理 1.10 $(\mathbb{R}^n, d_2)$是可分空间。

证明：$\mathbb{Q}^n$（有理点集）是$\mathbb{R}^n$的可数稠密子集。$\square$

定理 1.11 $C[a,b]$（赋予一致收敛度量）是可分空间。

证明：由Weierstrass逼近定理，多项式在$C[a,b]$中稠密。而有理系数多项式是可数的且在$C[a,b]$中稠密。$\square$

习题 1.1 证明$l^\infty$是度量空间，并验证$d_\infty$满足度量公理。

习题 1.2 在$\mathbb{R}$上定义$d(x, y) = |\arctan x - \arctan y|$。证明$d$是度量，且与通常度量$d_1(x,y) = |x-y|$等价。

习题 1.3 设$(X, d)$是度量空间，定义： $$d'(x, y) = \min\{d(x, y), 1\}$$ 证明$d'$是度量，且与$d$诱导相同的拓扑。

习题 1.4 证明离散度量空间中的每个子集既是开集又是闭集。

习题 1.5 设$X = C[0,1]$，$d(f,g) = \int_0^1|f(t) - g(t)|dt$。验证$d$是度量。

习题 1.6 证明：在度量空间中，单点集是闭集。

习题 1.7 设$A, B$是度量空间$X$的子集。证明：

1. (a) $\overline{A \cup B} = \bar{A} \cup \bar{B}$
2. (b) $\overline{A \cap B} \subseteq \bar{A} \cap \bar{B}$，举例说明等号一般不成立

习题 1.8 证明$l^p$（$1 \leq p < \infty$）是可分空间。

习题 1.9 设$\{x_n\}$是度量空间$X$中的点列，且当$m \neq n$时$d(x_m, x_n) = 1$。证明$\{x_n\}$没有收敛子列。

习题 1.10 证明：度量空间$X$是离散的（具有离散度量诱导的拓扑）当且仅当$X$中每个单点集都是开集。

• 度量空间的概念由Maurice Fréchet于1906年引入
• Hausdorff在其《集合论基础》（1914年）中系统发展了度量空间理论
• 点集拓扑是度量空间理论的进一步抽象，去掉了距离的概念