定义 19.1（试验函数空间 $\mathcal{D}$） $\mathcal{D}(\mathbb{R}^n)$（或记为 $C_c^{\infty}(\mathbb{R}^n)$）是 $\mathbb{R}^n$ 上具有紧支集的无穷次可微函数全体。

收敛性： $\varphi_k \to \varphi$ 在 $\mathcal{D}$ 中是指： 1. 存在紧集 $K$，使所有 $\varphi_k$ 的支集含于 $K$ 2. 对任意多重指标 $\alpha$，$D^{\alpha}\varphi_k$ 在 $K$ 上一致收敛于 $D^{\alpha}\varphi$

定义 19.2（广义函数） $\mathcal{D}$ 上的连续线性泛函称为广义函数（或分布），其全体记为 $\mathcal{D}'$。

例 19.1（正则分布） 设 $f$ 是局部可积函数，则 $$T_f(\varphi) = \int f(x)\varphi(x)dx$$ 定义了一个广义函数。

例 19.2（Dirac $\delta$函数） $$\delta(\varphi) = \varphi(0)$$ 这不是正则分布。

加法与数乘： 自然定义

乘子： 光滑函数 $g$ 与广义函数 $T$ 的乘积 $$(gT)(\varphi) = T(g\varphi)$$

导数： $$D^{\alpha}T(\varphi) = (-1)^{|\alpha|}T(D^{\alpha}\varphi)$$

性质： 广义函数无穷次可微。

例： $\delta'$ 的定义 $$\delta'(\varphi) = -\varphi'(0)$$