内积空间是欧几里得几何在无限维空间的自然推广。与一般的赋范空间不同，内积空间具有“角度”的概念，可以定义正交性，这使得其结构更加丰富和类似于有限维欧几里得空间。

本章介绍内积空间的基本理论，包括内积公理、由内积诱导的范数、以及内积空间特有的极化恒等式和平行四边形公式。

定义 9.1（内积）设$X$是数域$\mathbb{K}$（$\mathbb{R}$或$\mathbb{C}$）上的线性空间。映射$\langle \cdot, \cdot \rangle: X \times X \to \mathbb{K}$称为内积，如果对任意$x, y, z \in X$和$\alpha, \beta \in \mathbb{K}$：

(IP1) 共轭对称性：$\langle x, y \rangle = \overline{\langle y, x \rangle}$；

(IP2) 对第一变元的线性：$\langle \alpha x + \beta y, z \rangle = \alpha \langle x, z \rangle + \beta \langle y, z \rangle$；

(IP3) 正定性：$\langle x, x \rangle \geq 0$，且$\langle x, x \rangle = 0$当且仅当$x = 0$。

$(X, \langle \cdot, \cdot \rangle)$称为内积空间。

注记：

1. 当$\mathbb{K} = \mathbb{R}$时，(IP1)变为对称性：$\langle x, y \rangle = \langle y, x \rangle$
2. 由(IP1)和(IP2)，内积对第二变元是共轭线性的：

$$\langle x, \alpha y + \beta z \rangle = \bar{\alpha}\langle x, y \rangle + \bar{\beta}\langle x, z \rangle$$

例 9.1（欧几里得空间）在$\mathbb{R}^n$上：

$$\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i$$

在$\mathbb{C}^n$上：

$$\langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i \bar{y}_i$$

例 9.2（$l^2$空间）

$$\langle x, y \rangle = \sum_{n=1}^\infty x_n \bar{y}_n$$

由Cauchy-Schwarz不等式，级数绝对收敛。

例 9.3（$L^2$空间）

$$\langle f, g \rangle = \int_\Omega f(x)\overline{g(x)}d\mu(x)$$

例 9.4（连续函数空间）在$C[a,b]$上：

$$\langle f, g \rangle = \int_a^b f(t)\overline{g(t)}dt$$

这不是Hilbert空间（不完备）。

定理 9.1（Cauchy-Schwarz不等式）设$(X, \langle \cdot, \cdot \rangle)$是内积空间。则对任意$x, y \in X$：

$$|\langle x, y \rangle|^2 \leq \langle x, x \rangle \langle y, y \rangle$$

等号成立当且仅当$x$与$y$线性相关。

证明：不妨设$y \neq 0$。对任意$\lambda \in \mathbb{K}$：

$$0 \leq \langle x - \lambda y, x - \lambda y \rangle = \langle x, x \rangle - \lambda \langle y, x \rangle - \bar{\lambda}\langle x, y \rangle + |\lambda|^2\langle y, y \rangle$$

取$\lambda = \frac{\langle x, y \rangle}{\langle y, y \rangle}$：

$$0 \leq \langle x, x \rangle - \frac{|\langle x, y \rangle|^2}{\langle y, y \rangle}$$

即得结论。等号成立当且仅当$x = \lambda y$。$\square$

定义 9.2 在内积空间上定义：

$$\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$$

定理 9.2 上述定义的$\|\cdot\|$是范数。

证明：

(N1) $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle} \geq 0$，且$\|x\| = 0 \Leftrightarrow \langle x, x \rangle = 0 \Leftrightarrow x = 0$

(N2) $\|\alpha x\| = \sqrt{\langle \alpha x, \alpha x \rangle} = \sqrt{|\alpha|^2\langle x, x \rangle} = |\alpha|\|x\|$

(N3) 由Cauchy-Schwarz：

$$\|x + y\|^2 = \langle x+y, x+y \rangle = \|x\|^2 + 2\text{Re}\langle x, y \rangle + \|y\|^2$$

$$\leq \|x\|^2 + 2|\langle x, y \rangle| + \|y\|^2 \leq \|x\|^2 + 2\|x\|\|y\| + \|y\|^2 = (\|x\| + \|y\|)^2$$

$\square$

极化恒等式揭示了内积与范数之间的深刻联系：内积可以由范数恢复。

定理 9.3（极化恒等式）

(实情形) 若$\mathbb{K} = \mathbb{R}$：

$$\langle x, y \rangle = \frac{1}{4}(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2)$$

(复情形) 若$\mathbb{K} = \mathbb{C}$：

$$\langle x, y \rangle = \frac{1}{4}(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 + i\|x+iy\|^2 - i\|x-iy\|^2)$$

证明（复情形）：

展开$\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2\text{Re}\langle x, y \rangle + \|y\|^2$

$\|x-y\|^2 = \|x\|^2 - 2\text{Re}\langle x, y \rangle + \|y\|^2$

故$\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 = 4\text{Re}\langle x, y \rangle$

同理，$\|x+iy\|^2 - \|x-iy\|^2 = 4\text{Re}\langle x, iy \rangle = 4\text{Im}\langle x, y \rangle$

组合即得结论。$\square$

注记：极化恒等式说明：内积空间结构完全由其范数结构决定。

定理 9.4（平行四边形公式）在内积空间中，对任意$x, y$：

$$\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2)$$

证明：直接展开：

$$\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + 2\text{Re}\langle x, y \rangle + \|y\|^2$$

$$\|x-y\|^2 = \|x\|^2 - 2\text{Re}\langle x, y \rangle + \|y\|^2$$

相加即得。$\square$

几何意义：平行四边形对角线平方和等于四边平方和。

定理 9.5（Jordan-von Neumann定理）赋范空间$X$是内积空间（范数可由某内积诱导）当且仅当范数满足平行四边形公式。

证明概要：必要性已证。充分性：用极化恒等式定义内积，验证其满足内积公理。关键是用平行四边形公式验证可加性。

例 9.5 $l^p$（$p \neq 2$）不是内积空间。

取$x = (1, 0, 0, \ldots)$，$y = (0, 1, 0, \ldots)$：

$$\|x+y\|_p^2 + \|x-y\|_p^2 = 2^{2/p} + 2^{2/p} = 2^{1+2/p}$$

$$2(\|x\|_p^2 + \|y\|_p^2) = 2(1 + 1) = 4$$

当$p \neq 2$时，$2^{1+2/p} \neq 4$。

习题 9.1 验证$\mathbb{C}^n$上的标准内积满足内积公理。

习题 9.2 在内积空间中，证明：

$$\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 \Leftrightarrow \text{Re}\langle x, y \rangle = 0$$

习题 9.3 证明：若$\|x+y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2$对所有$x, y$成立，则内积空间是实的。

习题 9.4 设$\{x_n\}$是内积空间中的序列，$\|x_n\| \to \|x\|$且$\langle x_n, x \rangle \to \|x\|^2$。证明$x_n \to x$。

习题 9.5 证明：内积$\langle \cdot, \cdot \rangle: X \times X \to \mathbb{K}$是连续映射。

习题 9.6 设$T: X \to Y$是内积空间之间的线性算子且保持内积（$\langle Tx, Ty \rangle = \langle x, y \rangle$）。证明$\|Tx\| = \|x\|$。

习题 9.7 证明Appolonius恒等式：

$$\|z-x\|^2 + \|z-y\|^2 = \frac{1}{2}\|x-y\|^2 + 2\left\|z - \frac{x+y}{2}\right\|^2$$

习题 9.8 设$X$是实内积空间，$x, y \neq 0$。证明：$\|x+y\| = \|x\| + \|y\|$当且仅当$y = tx$（$t > 0$）。

习题 9.9 验证$C[0,1]$在上确界范数下不满足平行四边形公式。

习题 9.10 设$\{e_1, \ldots, e_n\}$是内积空间中的规范正交集。证明对任意$x$：

$$\sum_{i=1}^n |\langle x, e_i \rangle|^2 \leq \|x\|^2$$

• 严格凸空间与一致凸空间
• 内积空间的特征刻画
• 数值半径与数值值域

本章介绍了内积空间的基础理论：

1. 内积公理定义了“角度”的概念，使空间具有欧几里得结构
2. Cauchy-Schwarz不等式是内积空间的基本不等式
3. 内积自然诱导范数，使内积空间成为赋范空间
4. 极化恒等式表明内积可由范数恢复
5. 平行四边形公式是内积空间的特征性质