子集 (Subset):

$$ A \subset B \iff (\forall x)(x \in A \Rightarrow x \in B) $$

约定：$\varnothing \subset A$ 对任何集成立。

相等 (Equality):

$$ A = B \iff A \subset B \text{ 且 } B \subset A $$

真子集 (Proper Subset):

$$ A \subsetneq B \iff A \subset B \text{ 且 } A \neq B $$

幂集 (Power Set): $A$ 的子集之全体记作 $2^A$ ，称它为 $A$ 的幂集。

$$ 2^A = \{ S : S \subset A \} $$

• 性质: 若 $A$ 含 $n$ 个元，则 $2^A$ 含 $2^n$ 个元。

• 注意: $\varnothing \in 2^A$, $2^\varnothing = \{\varnothing\} \neq \varnothing$。

任何一组 (有限或无限个) 集构成一个集族. 通常用形如 $\{A_{i}: i \in I\}$ (或简写作 $\{A_{i}\}$ ) 的记号表示集族, 其中 $A_{i}$ 是集族中的集, $I$ 称为指标集, 并不要求 $A_{i}$ 彼此互异。

设全集为 $X$，任意 $A, B \subset X$ 及集族 $\{A_i\}_{i \in I}$。

对偶律 (De Morgan's Laws):

$$ \left(\bigcup_{i} A_{i}\right)^{c} = \bigcap_{i} A_{i}^{c} $$

$$ \left(\bigcap_{i} A_{i}\right)^{c} = \bigcup_{i} A_{i}^{c} $$

分配律:

$$ A \cap \left(\bigcup_{i} B_{i}\right) = \bigcup_{i} (A \cap B_{i}) $$

$$ A \cup \left(\bigcap_{i} B_{i}\right) = \bigcap_{i} (A \cup B_{i}) $$

补集与包含关系:

$$ A \cap B = \varnothing \iff A \subset B^{c} \iff B \subset A^{c} $$

$$ A \cap B = A \iff A \subset B \iff A \cup B = B $$

定义:

$$ X = \prod_{i=1}^{n} X_{i} = X_1 \times \dots \times X_n = \{(x_1, \dots, x_n) : x_i \in X_i\} $$

例子:

$n$维方体: $\prod_{i=1}^{n} [a_i, b_i] = \{(x_1, \dots, x_n) : a_i \leqslant x_i \leqslant b_i\}$

映射: $f: X \to Y$，记为 $x \mapsto f(x)$。

• 定义域: $X$
• 值域: $R_f = \{f(x) : x \in X\} \subset Y$

图形: $G(f) = \{(x, f(x)) : x \in X\} \subset X \times Y$

• 单射 (Injection): $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$
• 满射 (Surjection): $f(X) = Y$
• 双射 (Bijection): 既是单射又是满射 $\implies$ 存在逆映射 $f^{-1}: Y \to X$。
• 复合映射: $(g \circ f)(x) = g(f(x))$。
• 限制与扩张:

如果我们将函数 $f$ 的定义域从 $X$ 缩小到 $A$，并且保持对应法则不变，那么得到的新函数称为 $f$ 在 $A$ 上的限制。

如果有一个函数 $g: A \to Y$，我们想找一个定义在更大的集合 $X$ 上的函数 $f: X \to Y$（其中 $A \subset X$），使得 $f$ 在 $A$ 上的行为与 $g$ 完全一致，那么 $f$ 称为 $g$ 到 $X$ 上的扩张（或延拓）。

这是分析学中极为重要的概念：

像 (Image):

$$ f(A) = \{y \in Y : \exists x \in A, f(x) = y\} $$

原像 (Inverse Image):

$$ f^{-1}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\} $$

• 可数集: 凡是能与自然数集 $\mathbf{N}$ 建立双射的集（无限可数），或者有限集。
• 序列特征: 集合 $A$ 是可数集 $\iff$ $A$ 的元素可以排列成一个序列（无遗漏）：

$$ A = \{a_1, a_2, \dots, a_n, \dots\} $$

• (i) 子集: 可数集的子集是可数集。
• (ii) 双射: 若 $A \sim B$ (存在双射)，则 $A$ 可数 $\iff B$ 可数。
• (iii) 可数并: 可数个可数集之并是可数集。

$$ A_n \text{ 可数 } (n=1,2,\dots) \implies \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \text{ 可数} $$

• (iv) 有限积: 有限个可数集之积集是可数集。

$$ A, B \text{ 可数 } \implies A \times B \text{ 可数} $$