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1 集论
1.1 集及其运算 (Sets and Operations)
1. 基本概念与记号
| 概念 | 记号/公式 | 说明 |
|---|---|---|
| 元素归属 | $a \in A$ / $a \notin A$ | $a$ 是集合 $A$ 的元 / 不是 $A$ 的元 |
| 空集 | $\varnothing$ | 不含任何元素的集合 |
| 单元素集 | $\{a\}$ | 仅含一个元 $a$ 的集，注意 $\{a\} \neq a$ |
| 常用数集 | $\mathbf{N}, \mathbf{Z}, \mathbf{Q}, \mathbf{R}, \mathbf{C}$ | 自然数、整数、有理数、实数、复数集 |
| 集构造法 | $A = \{x \in X : P(x)\}$ | 由 $X$ 中满足条件 $P$ 的元素组成 |
2. 包含与幂集
子集 (Subset):
$$ A \subset B \iff (\forall x)(x \in A \Rightarrow x \in B) $$
约定：$\varnothing \subset A$ 对任何集成立。
相等 (Equality):
$$ A = B \iff A \subset B \text{ 且 } B \subset A $$
真子集 (Proper Subset):
$$ A \subsetneq B \iff A \subset B \text{ 且 } A \neq B $$
幂集 (Power Set): $A$ 的子集之全体记作 $2^A$ ，称它为 $A$ 的幂集。
$$ 2^A = \{ S : S \subset A \} $$
- 性质: 若 $A$ 含 $n$ 个元，则 $2^A$ 含 $2^n$ 个元。
- 注意: $\varnothing \in 2^A$, $2^\varnothing = \{\varnothing\} \neq \varnothing$。
3. 集合运算
任何一组 (有限或无限个) 集构成一个集族. 通常用形如 $\{A_{i}: i \in I\}$ (或简写作 $\{A_{i}\}$ ) 的记号表示集族, 其中 $A_{i}$ 是集族中的集, $I$ 称为指标集, 并不要求 $A_{i}$ 彼此互异。
设全集为 $X$，任意 $A, B \subset X$ 及集族 $\{A_i\}_{i \in I}$。
| 运算名称 | 符号 | 定义公式 |
|---|---|---|
| 补集 | $A^c$ | $A^c = \{x \in X : x \notin A\}$ |
| 并集 | $A \cup B$ | $A \cup B = \{x : x \in A \text{ 或 } x \in B\}$ |
| 交集 | $A \cap B$ | $A \cap B = \{x : x \in A \text{ 且 } x \in B\}$ |
| 差集 | $A \backslash B$ | $A \backslash B = A \cap B^c = \{x : x \in A \text{ 且 } x \notin B\}$ |
| 广义并 | $\bigcup_{i} A_i$ | $\bigcup_{i} A_i = \{x : \exists i, x \in A_i\}$ |
| 广义交 | $\bigcap_{i} A_i$ | $\bigcap_{i} A_i = \{x : \forall i, x \in A_i\}$ |
4. 运算律 (详细)
对偶律 (De Morgan's Laws):
$$ \left(\bigcup_{i} A_{i}\right)^{c} = \bigcap_{i} A_{i}^{c} $$
$$ \left(\bigcap_{i} A_{i}\right)^{c} = \bigcup_{i} A_{i}^{c} $$
分配律:
$$ A \cap \left(\bigcup_{i} B_{i}\right) = \bigcup_{i} (A \cap B_{i}) $$
$$ A \cup \left(\bigcap_{i} B_{i}\right) = \bigcap_{i} (A \cup B_{i}) $$
补集与包含关系:
$$ A \cap B = \varnothing \iff A \subset B^{c} \iff B \subset A^{c} $$
$$ A \cap B = A \iff A \subset B \iff A \cup B = B $$
5. 积集 (Cartesian Product)
定义:
$$ X = \prod_{i=1}^{n} X_{i} = X_1 \times \dots \times X_n = \{(x_1, \dots, x_n) : x_i \in X_i\} $$
例子:
$n$维方体: $\prod_{i=1}^{n} [a_i, b_i] = \{(x_1, \dots, x_n) : a_i \leqslant x_i \leqslant b_i\}$
1.2 映射 (Mappings)
1. 定义与要素
映射: $f: X \to Y$，记为 $x \mapsto f(x)$。
- 定义域: $X$
- 值域: $R_f = \{f(x) : x \in X\} \subset Y$
图形: $G(f) = \{(x, f(x)) : x \in X\} \subset X \times Y$
2. 重要的特殊函数
| 函数名 | 符号 | 定义公式 |
| 符号函数 | $\operatorname{sgn} x$ | $$ \begin{cases} -1 & (x < 0) \\ 0 & (x = 0) \\ 1 & (x > 0) \end{cases} $$ (性质: $x \cdot \operatorname{sgn} x = |x|$) |
| 取整函数 | $E(x)$ 或 $[x]$ | $n \leqslant x < n+1$ 时的唯一整数 $n$ |
| 特征函数 | $\chi_A(x)$ | $$ \begin{cases} 1 & (x \in A) \\ 0 & (x \notin A) \end{cases} $$ |
| Dirichlet函数 | $D(x)$ | $$ \begin{cases} 1 & (x \in \mathbf{Q}) \\ 0 & (x \notin \mathbf{Q}) \end{cases} $$ |
3. 映射的分类与操作
- 单射 (Injection): $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1 = x_2$
- 满射 (Surjection): $f(X) = Y$
- 双射 (Bijection): 既是单射又是满射 $\implies$ 存在逆映射 $f^{-1}: Y \to X$。
- 复合映射: $(g \circ f)(x) = g(f(x))$。
- 限制与扩张:
如果我们将函数 $f$ 的定义域从 $X$ 缩小到 $A$，并且保持对应法则不变，那么得到的新函数称为 $f$ 在 $A$ 上的限制。
如果有一个函数 $g: A \to Y$，我们想找一个定义在更大的集合 $X$ 上的函数 $f: X \to Y$（其中 $A \subset X$），使得 $f$ 在 $A$ 上的行为与 $g$ 完全一致，那么 $f$ 称为 $g$ 到 $X$ 上的扩张（或延拓）。
4. 像与原像 (Image & Preimage)
这是分析学中极为重要的概念：
像 (Image):
$$ f(A) = \{y \in Y : \exists x \in A, f(x) = y\} $$
原像 (Inverse Image):
$$ f^{-1}(B) = \{x \in X : f(x) \in B\} $$
1.3 可数集 (Countable Sets)
1. 定义
- 可数集: 凡是能与自然数集 $\mathbf{N}$ 建立双射的集（无限可数），或者有限集。
- 序列特征: 集合 $A$ 是可数集 $\iff$ $A$ 的元素可以排列成一个序列（无遗漏）：
$$ A = \{a_1, a_2, \dots, a_n, \dots\} $$
2. 判定定理
- (i) 子集: 可数集的子集是可数集。
- (ii) 双射: 若 $A \sim B$ (存在双射)，则 $A$ 可数 $\iff B$ 可数。
- (iii) 可数并: 可数个可数集之并是可数集。
$$ A_n \text{ 可数 } (n=1,2,\dots) \implies \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \text{ 可数} $$
- (iv) 有限积: 有限个可数集之积集是可数集。
$$ A, B \text{ 可数 } \implies A \times B \text{ 可数} $$
3. 关键实例(讲解比较简陋，建议ai)
| 集合 | 可数性 | 证明思路/备注 |
|---|---|---|
| $\mathbf{Z}$ (整数) | 可数 | 排列为 $\{0, 1, -1, 2, -2, \dots\}$，即存在双射 $f: \mathbf{N} \to \mathbf{Z}$。 |
| $\mathbf{Q}$ (有理数) | 可数 | $\mathbf{Q}_+$ 可分解为有限集 $A_n$ 之并；或视为 $\mathbf{Z} \times \mathbf{Z}$ 的子集 (可数集的笛卡尔积)。 |
| $\mathbf{Q}^n$ | 可数 | 可数集的有限积仍为可数集。 |
| 代数数 | 可数 | 定义: 有理系数多项式 $P(x) = \sum_{i=0}^n a_i x^i \; (a_i \in \mathbf{Q})$ 的实零点。 证明: 有理系数多项式集合可数 (对应 $\bigcup_{n=1}^\infty \mathbf{Q}^{n+1}$)，每个多项式只有有限个根 $\implies$ 可数个有限集之并仍可数。 |
| 无理数 ($\mathbf{R} \setminus \mathbf{Q}$) | 不可数 | 反证法: 已知 $\mathbf{R}$ 不可数，$\mathbf{Q}$ 可数。 假设无理数集可数，则 $\mathbf{R} = \mathbf{Q} \cup (\mathbf{R} \setminus \mathbf{Q})$ 将是两个可数集之并，这意味着 $\mathbf{R}$ 是可数集 (矛盾)。 |
| 超越数 | 不可数 | 补集性质: 定义为不是代数数的实数。 $\mathbf{R} = \{\text{代数数}\} \cup \{\text{超越数}\}$。 由于代数数集是可数的，若超越数集也可数，则 $\mathbf{R}$ 将可数。故超越数必不可数 (事实上几乎所有实数都是超越数)。 |
| $\mathbf{R}$ (实数) | 不可数 | 康托尔对角线法 (Cantor's Diagonal Argument): 证明 $(0,1)$ 不可数。假设 $(0,1)$ 可枚举为 $\{x_1, x_2, \dots\}$，构造 $y = 0.b_1 b_2 \dots$ 使得 $b_n \neq x_n \text{ 的第 } n \text{ 位小数}$，则 $y$ 不在序列中，产生矛盾。 |
张叶安