设 $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 都是 $x \to x_0$ 时的无穷小量（即极限为 0），若： $$\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$$

则称 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 等价，记作： $$\alpha(x) \sim \beta(x) \quad (x \to x_0)$$

• 等价 ≠ 相等：$\sin x \sim x$ 不代表 $\sin x = x$，而是两者趋近 0 的速度完全相同
• 比值极限为 1 意味着：$\alpha(x) = \beta(x) + o(\beta(x))$，即差异是“高阶小量”

基本公式表（x → 0）

若 $\alpha(x) \to 0$ 且 $\alpha(x) \neq 0$，则：

• $\sin \alpha(x) \sim \alpha(x)$
• $\ln(1+\alpha(x)) \sim \alpha(x)$
• $e^{\alpha(x)} - 1 \sim \alpha(x)$
• $(1+\alpha(x))^a - 1 \sim a\cdot\alpha(x)$

口诀：“内部整体替换，条件是无穷小趋零”

设 $\alpha \sim \alpha'$，$\beta \sim \beta'$，则： $$\lim \frac{\alpha}{\beta} = \lim \frac{\alpha'}{\beta'}$$

更一般地，在乘除运算中： $$\lim \frac{\alpha \cdot \gamma}{\beta \cdot \delta} = \lim \frac{\alpha' \cdot \gamma}{\beta' \cdot \delta}$$

$$\lim \frac{\alpha}{\beta} = \lim \left(\frac{\alpha}{\alpha'} \cdot \frac{\alpha'}{\beta'} \cdot \frac{\beta'}{\beta}\right) = \lim \frac{\alpha}{\alpha'} \cdot \lim \frac{\alpha'}{\beta'} \cdot \lim \frac{\beta'}{\beta} = 1 \cdot \lim \frac{\alpha'}{\beta'} \cdot 1 = \lim \frac{\alpha'}{\beta'}$$

关键：利用了 $\lim \frac{\alpha}{\alpha'} = 1$ 和 $\lim \frac{\beta'}{\beta} = 1$（等价定义）。

反例： $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$$

错误做法（直接替换 $\tan x \sim x$，$\sin x \sim x$）： $$\frac{x - x}{x^3} = \frac{0}{x^3} = 0 \quad \text{❌ 错误！}$$

正确做法（提取公因式后替换）： $$\frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{\sin x(\frac{1}{\cos x}-1)}{x^3} = \frac{\sin x(1-\cos x)}{x^3\cos x} \sim \frac{x \cdot \frac{x^2}{2}}{x^3 \cdot 1} = \frac{1}{2} \quad \text{✓}$$

等价无穷小只保证主部相同（一阶相同），但相减后高阶项可能暴露：

• $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
• $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
• $\tan x - \sin x = \frac{x^3}{2} + o(x^3)$ ← 一阶抵消，三阶才是主部

结论：加减后阶数可能升高，直接替换会丢失高阶信息。

严格条件：替换后不产生抵消。

例如： $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + \tan x}{x} = \frac{x + x}{x} = 2 \quad \text{✓}$$

因为 $\sin x + \tan x = 2x + o(x)$，主部保留。

安全做法：加减项先泰勒展开到足够阶数，再合并同类项。

所有基本等价无穷小都可以从麦克劳林展开（$x=0$ 处泰勒展开）读出：

核心公式：若 $f(0)=0$，$f'(0) \neq 0$，则 $f(x) \sim f'(0) \cdot x$