设 $\alpha(x)$ 和 $\beta(x)$ 都是 $x \to x_0$ 时的无穷小量（即极限为 0），若： $$\lim_{x \to x_0} \frac{\alpha(x)}{\beta(x)} = 1$$

则称 $\alpha(x)$ 与 $\beta(x)$ 等价，记作： $$\alpha(x) \sim \beta(x) \quad (x \to x_0)$$

• 等价 ≠ 相等：$\sin x \sim x$ 不代表 $\sin x = x$，而是两者趋近 0 的速度完全相同
• 比值极限为 1 意味着：$\alpha(x) = \beta(x) + o(\beta(x))$，即差异是“高阶小量”

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依赖线路图：
泰勒展开 / 极限定义
    │
    ├──→ sin x ~ x
    ├──→ tan x ~ x  
    ├──→ arcsin x ~ x
    ├──→ arctan x ~ x
    ├──→ e^x - 1 ~ x
    ├──→ ln(1+x) ~ x
    │
    └──→ 1 - cos x ~ x²/2  ←── 由 cos x = 1 - x²/2! + o(x²) 导出
              │
              └──→ (1+x)^a - 1 ~ ax  ←── 广义二项式展开
                        │
                        └──→ 所有公式可统一为泰勒一阶展开

若 $\alpha(x) \to 0$ 且 $\alpha(x) \neq 0$，则：

• $\sin \alpha(x) \sim \alpha(x)$
• $\ln(1+\alpha(x)) \sim \alpha(x)$
• $e^{\alpha(x)} - 1 \sim \alpha(x)$
• $(1+\alpha(x))^a - 1 \sim a\cdot\alpha(x)$

口诀：“内部整体替换，条件是无穷小趋零”

设 $\alpha \sim \alpha'$，$\beta \sim \beta'$，则： $$\lim \frac{\alpha}{\beta} = \lim \frac{\alpha'}{\beta'}$$

更一般地，在乘除运算中： $$\lim \frac{\alpha \cdot \gamma}{\beta \cdot \delta} = \lim \frac{\alpha' \cdot \gamma}{\beta' \cdot \delta}$$

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极限的四则运算法则
    │
    └──→ 乘法法则：lim(f·g) = lim f · lim g
              │
              └──→ 等价无穷小替换定理
                        │
                        ├──→ 分子整体替换：α ~ α'
                        ├──→ 分母整体替换：β ~ β'
                        └──→ 因子替换：乘积中的某个因子可单独替换
                        
    └──→ 除法法则：lim(f/g) = lim f / lim g
              │
              └──→ 分子/分母可分别替换
              
    └──→ 加减法法则：lim(f±g) = lim f ± lim g
              │
              └──→ ⚠️ 不能直接用于加减项替换！

$$\lim \frac{\alpha}{\beta} = \lim \left(\frac{\alpha}{\alpha'} \cdot \frac{\alpha'}{\beta'} \cdot \frac{\beta'}{\beta}\right) = \lim \frac{\alpha}{\alpha'} \cdot \lim \frac{\alpha'}{\beta'} \cdot \lim \frac{\beta'}{\beta} = 1 \cdot \lim \frac{\alpha'}{\beta'} \cdot 1 = \lim \frac{\alpha'}{\beta'}$$

关键：利用了 $\lim \frac{\alpha}{\alpha'} = 1$ 和 $\lim \frac{\beta'}{\beta} = 1$（等价定义）。

反例： $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$$

错误做法（直接替换 $\tan x \sim x$，$\sin x \sim x$）： $$\frac{x - x}{x^3} = \frac{0}{x^3} = 0 \quad \text{❌ 错误！}$$

正确做法（提取公因式后替换）： $$\frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \frac{\sin x(\frac{1}{\cos x}-1)}{x^3} = \frac{\sin x(1-\cos x)}{x^3\cos x} \sim \frac{x \cdot \frac{x^2}{2}}{x^3 \cdot 1} = \frac{1}{2} \quad \text{✓}$$

等价无穷小只保证主部相同（一阶相同），但相减后高阶项可能暴露：

• $\tan x = x + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
• $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
• $\tan x - \sin x = \frac{x^3}{2} + o(x^3)$ ← 一阶抵消，三阶才是主部

结论：加减后阶数可能升高，直接替换会丢失高阶信息。

严格条件：替换后不产生抵消。

例如： $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x + \tan x}{x} = \frac{x + x}{x} = 2 \quad \text{✓}$$

因为 $\sin x + \tan x = 2x + o(x)$，主部保留。

安全做法：加减项先泰勒展开到足够阶数，再合并同类项。

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泰勒公式（Taylor Series）
    │
    ├──→ 一阶展开：f(x) = f(0) + f'(0)x + o(x)
    │           │
    │           └──→ 等价无穷小：f(x) - f(0) ~ f'(0)x
    │                       即 "函数增量 ~ 导数×自变量增量"
    │
    ├──→ 二阶展开：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x²/2! + o(x²)
    │           │
    │           └──→ 等价无穷小的精度提升
    │               例如：1 - cos x = x²/2 - x⁴/24 + ... ~ x²/2
    │
    └──→ 等价无穷小是泰勒展开的"一阶截取"
                │
                └──→ 精度不足时，必须回到泰勒展开

所有基本等价无穷小都可以从麦克劳林展开（$x=0$ 处泰勒展开）读出：

核心公式：若 $f(0)=0$，$f'(0) \neq 0$，则 $f(x) \sim f'(0) \cdot x$

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{\tan 5x} = \lim_{x \to 0} \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}$$

• $\sin 3x \sim 3x$（广义形式，$3x \to 0$）
• $\tan 5x \sim 5x$（同理）

$$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+\sin x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

• 内层：$\sin x \sim x$
• 外层：$\ln(1+u) \sim u$，其中 $u = \sin x \to 0$

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x^2} - 1}{1 - \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\frac{x^2}{2}} = 2$$

• $e^{x^2} - 1 \sim x^2$（广义，$u = x^2 \to 0$）
• $1 - \cos x \sim \frac{x^2}{2}$

$$\lim_{x \to 0} \frac{(1+x)^x - 1}{x^2}$$

技巧：$u^v = e^{v\ln u}$，所以： $$(1+x)^x - 1 = e^{x\ln(1+x)} - 1 \sim x\ln(1+x) \sim x \cdot x = x^2$$

因此： $$\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{x^2} = 1$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{x - \ln(1+x)}{x^2}$$

错误：$x - \ln(1+x) \sim x - x = 0$ ❌

正确（泰勒到二阶）： $$\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$$ $$x - \ln(1+x) = x - \left(x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right) = \frac{x^2}{2} + o(x^2) \sim \frac{x^2}{2}$$

所以： $$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{x^2}{2}}{x^2} = \frac{1}{2}$$

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微积分基础
    │
    ├──→ 极限定义（ε-δ语言）
    │       │
    │       └──→ 无穷小的定义
    │               │
    │               ├──→ 高阶无穷小：o(α)
    │               ├──→ 同阶无穷小：lim α/β = C ≠ 0
    │               └──→ 等价无穷小：lim α/β = 1
    │                       │
    │                       ├──→ 基本公式（9个熟记）
    │                       ├──→ 替换定理（乘除可用）
    │                       ├──→ 泰勒展开（精度提升）
    │                       └──→ 洛必达法则（备选方案）
    │
    └──→ 导数定义
            │
            └──→ 泰勒展开 f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ/n!
                    │
                    └──→ 等价无穷小是泰勒的"一阶近似"
                            │
                            └──→ 精度不够时，增加泰勒阶数

乘除可替换，加减要小心
等价看主部，泰勒保精度
复合整体换，条件是无穷
洛必达备用，等价更快捷