不定积分 (Indefinite Integrals)
不定积分是求导的逆运算，结果是一个函数族：$\int f(x) dx = F(x) + C$。
1. 基本积分公式表
| 分类 | 被积函数 $f(x)$ | 原函数 $\int f(x) dx$ | 备注 |
|---|---|---|---|
| 幂函数 | $x^\mu$ ($\mu \neq -1$) | $\frac{x^{\mu+1}}{\mu+1} + C$ | |
| $\frac{1}{x}$ | $\ln|x| + C$ | 注意绝对值 | |
| 指数 | $e^x$ | $e^x + C$ | |
| $a^x$ | $\frac{a^x}{\ln a} + C$ | ||
| 三角 | $\sin x$ | $-\cos x + C$ | |
| $\cos x$ | $\sin x + C$ | ||
| $\sec^2 x$ | $\tan x + C$ | ||
| $\csc^2 x$ | $-\cot x + C$ | ||
| $\sec x \tan x$ | $\sec x + C$ | ||
| $\csc x \cot x$ | $-\csc x + C$ | ||
| 扩展三角 | $\tan x$ | $-\ln|\cos x| + C$ | |
| $\cot x$ | $\ln|\sin x| + C$ | ||
| $\sec x$ | $\ln|\sec x + \tan x| + C$ | ||
| $\csc x$ | $\ln|\csc x - \cot x| + C$ | ||
| 反三角 | $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x + C$ | |
| $\frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}$ | $\arcsin \frac{x}{a} + C$ | ||
| $\frac{1}{1+x^2}$ | $\arctan x + C$ | ||
| $\frac{1}{a^2+x^2}$ | $\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a} + C$ | 系数 1/a | |
| $\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$ | $\text{arcsec } x + C$ |
2. 积分求解技巧
2.1 第一类换元法 (凑微分)
核心：利用 $g'(x)dx = d(g(x))$。 常见模式：
- $x dx = \frac{1}{2} d(x^2)$
- $\frac{1}{x} dx = d(\ln x)$
- $e^x dx = d(e^x)$
- $\cos x dx = d(\sin x)$
- $\frac{1}{1+x^2} dx = d(\arctan x)$
2.2 第二类换元法 (三角代换)
用于消除根号 $\sqrt{\cdot}$。
| 形式 | 令 $x =$ | 恒等式 |
|---|---|---|
| $\sqrt{a^2 - x^2}$ | $a \sin t$ | $1-\sin^2 t = \cos^2 t$ |
| $\sqrt{a^2 + x^2}$ | $a \tan t$ | $1+\tan^2 t = \sec^2 t$ |
| $\sqrt{x^2 - a^2}$ | $a \sec t$ | $\sec^2 t - 1 = \tan^2 t$ |
2.3 分部积分法 (Integration by Parts)
公式：$$ \int u dv = uv - \int v du $$ 选 $u$ 优先级 (LIATE)：对数(L) > 反三角(I) > 幂函数(A) > 三角(T) > 指数(E)。
2.4 有理函数积分
对于 $\int \frac{P(x)}{Q(x)} dx$： 1. 若分子次数 $\ge$ 分母，先做多项式除法。 2. 将分母因式分解。 3. 部分分式分解（如 $\frac{1}{x^2-1} = \frac{1/2}{x-1} - \frac{1/2}{x+1}$）。
定积分与微积分基本定理
定积分 $\int_a^b f(x) dx$ 是一个数值，几何上代表曲边梯形的代数面积。
1. 黎曼积分定义
$$ \int_a^b f(x) dx = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i) \Delta x_i $$ 其中 $\lambda$ 是最大区间长度。
2. 微积分基本定理 (The Fundamental Theorem of Calculus)
这是连接微分与积分的桥梁。
第一基本定理 (变上限积分求导)
若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，定义 $\Phi(x) = \int_a^x f(t) dt$，则： $$ \Phi'(x) = \frac{d}{dx} \int_a^x f(t) dt = f(x) $$
证明思路： 利用导数定义和积分中值定理： $$ \frac{\Phi(x+\Delta x) - \Phi(x)}{\Delta x} = \frac{1}{\Delta x}\int_x^{x+\Delta x} f(t) dt = \frac{f(\xi)\Delta x}{\Delta x} = f(\xi) $$ 当 $\Delta x \to 0$ 时，$\xi \to x$，故极限为 $f(x)$。
第二基本定理 (牛顿-莱布尼茨公式)
若 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意原函数，则： $$ \int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a) $$ 意义：将复杂的黎曼和极限运算转化为寻找原函数的代数运算。
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数值积分 (Numerical Integration)
当原函数无法用初等函数表示（如 $\int e^{-x^2} dx$）或只有离散数据时使用。 设步长 $h = \frac{b-a}{n}$，节点 $x_i = a + i h$。
| 方法 | 公式 | 几何意义 | 精度 |
|---|---|---|---|
| 梯形法 | $I \approx \frac{h}{2} [f(a) + 2\sum f(x_i) + f(b)]$ | 用直线逼近 | $O(h^2)$ |
| 辛普森法 | $I \approx \frac{h}{3} [f(a) + 4\sum_{odd} + 2\sum_{even} + f(b)]$ | 用抛物线逼近 | $O(h^4)$ |
辛普森公式系数记忆： $$ 1, 4, 2, 4, 2, \dots, 4, 1 $$ （首尾为1，中间奇数位为4，偶数位为2）。
张叶安