庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”

现在有一小球，在2s内匀速走了4m，可知其平均速度为$4\mathrm{m}/2\mathrm{s}=2 \mathrm{m} /\mathrm{s}$,那么如何求其在初始时刻的瞬时速度呢。

我们使用眼球技术可以得知其瞬时速度也为$2 \mathrm{m} /\mathrm{s}$，然而要怎么准确的描述这一数值。

瞬时，意味着在这一瞬间其移动的位移为0，移动的时间也为0，0不能作为除数，瞬时速度无法直接求解。

牛顿用一个动态的无穷小量来描述这个问题，即位移的无穷小量和时间的无穷小量的“终极比”来描述瞬时速度。

无穷小量的意思，就类似于“线段的长度无限缩小，最后会变成一个点，但是现在它还是一根线”。

一尺之棰是有长度的，日取一半，就算取成粉末也是有长度的，只有在无穷大的时间之后，它才会变成一个点，达到取尽的结果。

现在我们来日取其半,可知当位移取 $4/{2^{n}}$时，时间取$2/{2^{n}}$，当n趋近于无穷大的时候，位移和时间都变成一个“几乎可以忽略的值”，这就是无穷小量，一个动态趋近于无穷小的值。

他们的终极比，也就是瞬时速度，一直为2m/s。

以下为趋近的过程

以上结论有什么意义呢，当瞬时速度是一个变化的量的时候，我们也可以求出这种复杂的解。

如速度的函数是$c2^t$,在2s内走过了4m，求c。

用0.01s来充当无穷小的时间间隔，虽然不准确但是可以看看精度如何。

实际$c=4/3 \ln 2 = 0.924196$

小数点后面已经非常接近啦！

参考：牛顿流数术的历史

history_of_the_method_of_fluxions_normalized_.pdf