设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：

• $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$
• 在 $a$ 的某去心邻域内可导，且 $g'(x) \neq 0$
• $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$（$L$ 为有限数或 $\pm\infty$）

则： $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$$

第一步：补充定义

由于 $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$，补充定义： $$f(a) = 0, \quad g(a) = 0$$

则 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x = a$ 处连续。

第二步：对任意 $x \neq a$ 应用柯西中值定理

不妨设 $x > a$（$x < a$ 情形类似），在区间 $[a, x]$ 上：

• $f, g$ 连续（由补充定义）
• $f, g$ 在 $(a, x)$ 可导（由条件）
• $g'(t) \neq 0$ 对 $t \in (a, x)$

根据柯西中值定理，存在 $\xi \in (a, x)$，使得： $$\frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$

由 $f(a) = g(a) = 0$，化简得： $$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$

第三步：取极限

当 $x \to a^+$ 时，由于 $a < \xi < x$，由夹逼准则得 $\xi \to a^+$。

因此： $$\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a^+} \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \lim_{\xi \to a^+} \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = L$$

同理可证 $x \to a^-$ 情形，故： $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L$$

证毕。