设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：

• $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$
• 在 $a$ 的某去心邻域内可导，且 $g'(x) \neq 0$
• $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$（$L$ 为有限数或 $\pm\infty$）

则： $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$$

• 由洛必达侯爵（Guillaume de l'Hôpital）于 1696 年发表
• 实际由约翰·伯努利（Johann Bernoulli）发现，洛必达通过资助换取了署名权

第一步：补充定义

由于 $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$，补充定义： $$f(a) = 0, \quad g(a) = 0$$

则 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x = a$ 处连续。

第二步：对任意 $x \neq a$ 应用柯西中值定理

不妨设 $x > a$（$x < a$ 情形类似），在区间 $[a, x]$ 上：

• $f, g$ 连续（由补充定义）
• $f, g$ 在 $(a, x)$ 可导（由条件）
• $g'(t) \neq 0$ 对 $t \in (a, x)$

根据柯西中值定理，存在 $\xi \in (a, x)$，使得： $$\frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$

由 $f(a) = g(a) = 0$，化简得： $$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$

第三步：取极限

当 $x \to a^+$ 时，由于 $a < \xi < x$，由夹逼准则得 $\xi \to a^+$。

因此： $$\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a^+} \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \lim_{\xi \to a^+} \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = L$$

同理可证 $x \to a^-$ 情形，故： $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L$$

证毕。

核心公式： $$\varphi(x) = f(x) - f(a) - k \cdot [g(x) - g(a)]$$

其中常数 $k$ 由端点条件 $\varphi(b) = 0$ 确定： $$k = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$$

口诀：“原函数减起点值，减去比例乘另一差”

设 $f(x) = x^2 - 3x + 2$ 在 $[1, 2]$ 上，验证罗尔定理。

• $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$
• $f(2) = 4 - 6 + 2 = 0$
• $f'(x) = 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \in (1, 2)$

验证成立，$\xi = \frac{3}{2}$。

$f(x) = x^3$ 在 $[0, 2]$ 上，求 $\xi$。

$$\frac{f(2)-f(0)}{2-0} = \frac{8-0}{2} = 4$$ $$f'(\xi) = 3\xi^2 = 4 \Rightarrow \xi = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.155 \in (0, 2)$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$$

• 验证：$e^0 - 1 - 0 = 0$，分母 $0$，是 $\frac{0}{0}$ 型
• 第一次洛必达：$\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{2x}$（仍是 $\frac{0}{0}$）
• 第二次洛必达：$\lim_{x\to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$

设 $f(x) = e^x$，$g(x) = x^2$ 在 $[0, 1]$ 上，求 $\xi$。

$$\frac{f(1)-f(0)}{g(1)-g(0)} = \frac{e - 1}{1 - 0} = e - 1$$ $$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{e^\xi}{2\xi} = e - 1$$

需解方程 $e^\xi = 2(e-1)\xi$，数值解 $\xi \approx 0.351$。