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│   闭区间最值定理  │  ← 实数完备性（确界原理）
│  （Extreme Value│
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│    费马引理       │  ← 导数定义 + 极值定义
│  （Fermat's Lemma│
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│    罗尔定理      │
│  （Rolle's Thm） │
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│ 拉格朗日中值定理  │
│ （Lagrange MVT） │
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│  柯西中值定理    │
│  （Cauchy MVT）  │
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│   洛必达法则     │
│ （L'Hôpital's Rule）│
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设函数 $f(x)$ 满足：

• 在闭区间 $[a, b]$ 上连续
• 在开区间 $(a, b)$ 内可导
• $f(a) = f(b)$

则存在 $\xi \in (a, b)$，使得： $$f'(\xi) = 0$$

端点等高的连续光滑曲线，内部必有一点的切线水平（平行于 x 轴）。

第一步：最值存在性

由于 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，根据闭区间连续函数最值定理，$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上必取得最大值 $M$ 和最小值 $m$。

第二步：分类讨论

1. 情形一：若 $M = m$，则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上为常函数。

此时对任意 $x \in (a, b)$，$f'(x) = 0$，定理显然成立。

1. 情形二：若 $M > m$，由于 $f(a) = f(b)$，则最大值 $M$ 和最小值 $m$ 至少有一个在区间内部 $(a, b)$ 取得。

不妨设存在 $\xi \in (a, b)$，使得 $f(\xi) = M$（最大值情形）。

第三步：费马引理

由于 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 可导，且 $\xi$ 是 interior maximum point（内部极大值点），根据费马引理：

若 $f$ 在 $\xi$ 可导且 $\xi$ 是局部极值点，则 $f'(\xi) = 0$

因此： $$f'(\xi) = 0$$

证毕。

设函数 $f(x)$ 满足：

• 在 $[a, b]$ 上连续
• 在 $(a, b)$ 内可导

则存在 $\xi \in (a, b)$，使得： $$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

曲线上存在一点，其切线与端点连线平行。

构造辅助函数（消去“倾斜”，转化为罗尔定理的“水平”情形）：

$$\varphi(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}(x - a)$$

验证 $\varphi(x)$ 满足罗尔定理条件：

• 连续性：$\varphi(x)$ 是连续函数的组合，在 $[a, b]$ 连续
• 可导性：$\varphi(x)$ 在 $(a, b)$ 可导
• 端点值：
  • $\varphi(a) = f(a) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a) = 0$
  • $\varphi(b) = f(b) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a) = f(b)-f(a) - [f(b)-f(a)] = 0$

故 $\varphi(a) = \varphi(b) = 0$。

应用罗尔定理：

存在 $\xi \in (a, b)$，使得 $\varphi'(\xi) = 0$。

计算导数： $$\varphi'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

令 $\varphi'(\xi) = 0$： $$f'(\xi) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0$$

即： $$f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

证毕。

设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：

• 在 $[a, b]$ 上连续
• 在 $(a, b)$ 内可导
• $g'(x) \neq 0$ 对任意 $x \in (a, b)$

则存在 $\xi \in (a, b)$，使得： $$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$

• 由条件可推出 $g(b) \neq g(a)$（否则由罗尔定理，存在 $c$ 使 $g'(c)=0$，矛盾）
• 令 $g(x) = x$ 即退化为拉格朗日中值定理

参数曲线 $(g(t), f(t))$ 上存在一点，其切线方向与端点连线方向相同。

构造辅助函数（类比拉格朗日的构造，将 $x-a$ 替换为 $g(x)-g(a)$）：

$$\varphi(x) = f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}\big[g(x) - g(a)\big]$$

验证 $\varphi(x)$ 满足罗尔定理条件：

• 连续性：在 $[a, b]$ 连续
• 可导性：在 $(a, b)$ 可导
• 端点值：
  • $\varphi(a) = f(a) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(a)-g(a)] = 0$
  • $\varphi(b) = f(b) - f(a) - \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(b)-g(a)] = 0$

故 $\varphi(a) = \varphi(b) = 0$。

应用罗尔定理：

存在 $\xi \in (a, b)$，使得 $\varphi'(\xi) = 0$。

计算导数： $$\varphi'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \cdot g'(x)$$

令 $\varphi'(\xi) = 0$： $$f'(\xi) - \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} \cdot g'(\xi) = 0$$

整理得： $$\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$

证毕。

设函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 满足：

• $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$
• 在 $a$ 的某去心邻域内可导，且 $g'(x) \neq 0$
• $\lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$（$L$ 为有限数或 $\pm\infty$）

则： $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} = L$$

• 由洛必达侯爵（Guillaume de l'Hôpital）于 1696 年发表
• 实际由约翰·伯努利（Johann Bernoulli）发现，洛必达通过资助换取了署名权

第一步：补充定义

由于 $\lim_{x \to a} f(x) = \lim_{x \to a} g(x) = 0$，补充定义： $$f(a) = 0, \quad g(a) = 0$$

则 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x = a$ 处连续。

第二步：对任意 $x \neq a$ 应用柯西中值定理

不妨设 $x > a$（$x < a$ 情形类似），在区间 $[a, x]$ 上：

• $f, g$ 连续（由补充定义）
• $f, g$ 在 $(a, x)$ 可导（由条件）
• $g'(t) \neq 0$ 对 $t \in (a, x)$

根据柯西中值定理，存在 $\xi \in (a, x)$，使得： $$\frac{f(x) - f(a)}{g(x) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$

由 $f(a) = g(a) = 0$，化简得： $$\frac{f(x)}{g(x)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$$

第三步：取极限

当 $x \to a^+$ 时，由于 $a < \xi < x$，由夹逼准则得 $\xi \to a^+$。

因此： $$\lim_{x \to a^+} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a^+} \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \lim_{\xi \to a^+} \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = L$$

同理可证 $x \to a^-$ 情形，故： $$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = L$$

证毕。

核心公式： $$\varphi(x) = f(x) - f(a) - k \cdot [g(x) - g(a)]$$

其中常数 $k$ 由端点条件 $\varphi(b) = 0$ 确定： $$k = \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$$

口诀：“原函数减起点值，减去比例乘另一差”

设 $f(x) = x^2 - 3x + 2$ 在 $[1, 2]$ 上，验证罗尔定理。

• $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$
• $f(2) = 4 - 6 + 2 = 0$
• $f'(x) = 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2} \in (1, 2)$

验证成立，$\xi = \frac{3}{2}$。

$f(x) = x^3$ 在 $[0, 2]$ 上，求 $\xi$。

$$\frac{f(2)-f(0)}{2-0} = \frac{8-0}{2} = 4$$ $$f'(\xi) = 3\xi^2 = 4 \Rightarrow \xi = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \approx 1.155 \in (0, 2)$$

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2}$$

• 验证：$e^0 - 1 - 0 = 0$，分母 $0$，是 $\frac{0}{0}$ 型
• 第一次洛必达：$\lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{2x}$（仍是 $\frac{0}{0}$）
• 第二次洛必达：$\lim_{x\to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$

设 $f(x) = e^x$，$g(x) = x^2$ 在 $[0, 1]$ 上，求 $\xi$。

$$\frac{f(1)-f(0)}{g(1)-g(0)} = \frac{e - 1}{1 - 0} = e - 1$$ $$\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} = \frac{e^\xi}{2\xi} = e - 1$$

需解方程 $e^\xi = 2(e-1)\xi$，数值解 $\xi \approx 0.351$。