极限理论是数学分析的基石。其基本思想是：为认知某个未知量 $A$，转而考察某个无限接近于 $A$ 的已知变量 $u$。本章将建立一套标准的概念、规则与步骤来实现这一思想。

主要解决的问题：

• (A) 给出极限过程的严格描述；
• (B) 给出极限存在的条件；
• (C) 阐明极限的性质；
• (D) 给出计算极限的方法。

数列是定义于自然数集 $\mathbb{N}$ 上的函数。

定义 (收敛数列)： 设 $\{x_n\}$ 是一数列。若存在常数 $A$，使得： $$ \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}; \forall n > n_0, \text{有 } |x_n - A| < \varepsilon $$ 则称 $\{x_n\}$ 为收敛数列，记作 $\lim_{n \to \infty} x_n = A$ 或 $x_n \to A$。

定义 (趋于无穷)： $$ \forall b > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n > n_0, \text{有 } x_n > b $$ 则称 $x_n$ 趋向于 $\infty$，记作 $\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$。同理可定义 $-\infty$。

统一描述 (邻域法)： $x_n \to A$ 意味着： $$ \forall U = N(A), \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n > n_0, \text{有 } x_n \in U $$ 其中 $A$ 可为有限数或 $\pm \infty$。

设 $x_n \to A, y_n \to B$ (有限)，则：

• (i) 唯一性：极限若存在则唯一。
• (ii) 有界性：收敛数列必有界 ($\sup |x_n| < \infty$)。
• (iii) 绝对值：$|x_n| \to |A|$。
• (iv) 四则运算：$x_n \pm y_n \to A \pm B$, $x_n y_n \to AB$, $x_n/y_n \to A/B$ ($B \neq 0$)。
• (v) 保序性：若 $x_n \le y_n$，则 $A \le B$。
  • 保号性：若 $A > 0$，则 $n$ 充分大时 $x_n > 0$。
• (vi) 夹逼原理 (Squeeze Theorem)：若 $x_n \le z_n \le y_n$ 且 $A=B$，则 $z_n \to A$。

定理： 若 $\{x_n\}$ 是增序列（或减序列），则： $$ \lim_n x_n = \sup_n x_n \quad \text{或} \quad \lim_n x_n = \inf_n x_n $$ 推论：单调有界数列必收敛。

• 有理函数：$f(x) = P(x)/Q(x)$，若 $x_n \to a$，则 $f(x_n) \to f(a)$ (分母不为0)。
• 方根极限：$\lim_n \sqrt[n]{n} = 1$, $\lim_n \sqrt[n]{a} = 1 (a>0)$。
• 增长速度比较：$\lim_n \frac{n^k}{a^n} = 0 (a>1)$, $\lim_n \frac{(\log_a n)^k}{n} = 0$。即：指数增长 $\gg$ 多项式增长 $\gg$ 对数增长。

存在无理数 $e$，使得： $$ e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} + \frac{\theta}{n!n} \quad (0 < \theta < 1) $$ 该数列单调递增且有上界（$<3$）。

由 $x_n = f(x_{n-1})$ 生成的数列。 命题：若 $f(x)$ 单调增，且 $x_n$ 有界，则 $x_n$ 收敛于方程 $f(x)=x$ 的根。

定义： $$ \varlimsup_n x_n = \inf_n \sup_{k \ge n} x_k, \quad \varliminf_n x_n = \sup_n \inf_{k \ge n} x_k $$

子极限：数列 $\{x_n\}$ 的子列 $\{x_{n_k}\}$ 的极限。 定理：

• (i) $\lim x_n$ 存在 $\iff$ 任何子列有同一极限。
• (ii) 上极限和下极限分别是 $\{x_n\}$ 的最大和最小子极限。
• (iii) $\lim x_n$ 存在 $\iff \varlimsup x_n = \varliminf x_n$。

• 不等式：$\varlimsup (x_n + y_n) \le \varlimsup x_n + \varlimsup y_n$。
• 乘积：若 $x_n, y_n \ge 0$，$\varlimsup (x_n y_n) \le \varlimsup x_n \cdot \varlimsup y_n$。

设 $y_n$ 严格增加且 $y_n \to \infty$，则： $$ \lim_n \frac{x_n}{y_n} = \lim_n \frac{x_n - x_{n-1}}{y_n - y_{n-1}} $$ 只要等式右端极限存在。 *(注：这是离散形式的洛必达法则)*

应用：

• 算术平均极限：若 $x_n \to A$，则 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \to A$。
• 几何平均极限：若 $x_n \to A > 0$，则 $\sqrt[n]{x_1 \dots x_n} \to A$。

本节定理逻辑上等价，刻画了实数系的连续性（完备性）。

数列 $\{x_n\}$ 收敛的充要条件是满足 Cauchy 条件： $$ \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall m, n > n_0, \text{有 } |x_m - x_n| < \varepsilon $$ 即 $\lim_{m,n \to \infty} |x_m - x_n| = 0$。

设 $J_n = [a_n, b_n]$ 是区间套 ($J_{n+1} \subset J_n$) 且长度趋于 0，则 $J_n$ 有唯一公共点。

设闭区间 $[a, b]$ 被一族开区间 $\Delta$ 覆盖，则可从 $\Delta$ 中取出有限子覆盖。

有界无限集 $A \subset \mathbb{R}$ 必有聚点。 *(聚点：任意邻域内含有集合中无限多个点)*

任何有界数列必有收敛子列。

逻辑链条： 连续性定理 $\Rightarrow$ 确界定理 $\Rightarrow$ Cauchy原理 $\Rightarrow$ 区间套 $\Rightarrow$ 有限覆盖 $\Rightarrow$ 聚点原理 $\Rightarrow$ 紧性定理 $\Rightarrow$ 连续性定理。

将极限概念推广到 $n$ 维欧几里得空间。

序列 $\{\boldsymbol{x}^k\} \subset \mathbb{R}^n$ 收敛于 $\boldsymbol{a}$，即 $|\boldsymbol{x}^k - \boldsymbol{a}| \to 0$。 等价性： $$ \boldsymbol{x}^k \to \boldsymbol{a} \iff x_i^k \to a_i \quad (1 \le i \le n) $$ 即 $n$ 维收敛等价于每个坐标分量收敛。

• Cauchy 原理：$|\boldsymbol{x}^k - \boldsymbol{x}^l| \to 0$。
• 闭集套定理：闭集套 $B_k$ 若直径趋于0，则有唯一公共点。
• 有限覆盖定理：$\mathbb{R}^n$ 中的紧集（有界闭集）的开覆盖必有有限子覆盖。
• 聚点原理：$\mathbb{R}^n$ 中有界无限集必有聚点。
• 紧性定理：$\mathbb{R}^n$ 中有界序列必有收敛子列。

设 $a$ 是定义域 $X$ 的聚点。$\lim_{x \to a} f(x) = A$ 定义为： $$ \forall V = N(A), \exists U = N^*(a) \text{ (去心邻域)}, \forall x \in X \cap U, \text{有 } f(x) \in V $$ 此定义涵盖了 $x \to x_0$, $x \to \infty$, 左右极限等所有情况。

$\lim_{x \to a} f(x)$ 存在 $\iff$ 对任意 $x_n \to a (x_n \neq a)$，数列 $f(x_n)$ 都有同一极限。 *(连接了函数极限与数列极限)*

函数极限具备唯一性、局部有界性、保号性、四则运算规则、夹逼原理等，与数列极限类似。

$\lim_{x \to a} f(x)$ 存在的充要条件： $$ \lim_{x, y \to a} |f(x) - f(y)| = 0 $$

若 $f(x) \to A (x \to a, x \neq a \implies f(x) \neq A)$ 且 $\varphi(y) \to l (y \to A)$，则： $$ \lim_{x \to a} \varphi(f(x)) = l $$

1. 1. 幂指函数极限：

$$ \lim_{x \to \infty} (1 + 1/x)^x = e, \quad \lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e $$

1. 2. 三角函数极限：

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

考察 $\lim_{x \to a, y \to b} f(x, y)$ 与 $\lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x, y)$ 的关系。 定理：若逐次极限函数 $\varphi(x) = \lim_{y \to b} f(x, y)$ 存在，且二重极限存在，则二者相等。 *(注：二重极限存在要求更高，沿任意路径趋近都相等)*

• 无穷小量：若 $\lim u = 0$。
• 无穷大量：若 $\lim |u| = \infty$。

设在同一极限过程中：

• 高阶无穷小 ($o$)：$u = o(v) \iff \lim u/v = 0$。
• 同阶无穷小 ($O^*$)：$u = O^*(v) \iff 0 < \lim |u/v| < \infty$。
• 有界量 ($O$)：$u = O(v) \iff \varlimsup |u/v| < \infty$。
• 等价无穷小 ($\sim$)：$u \sim v \iff \lim u/v = 1$。

运算规则：

• $o(o(w)) = o(w)$
• $o(v) \cdot O(w) = o(vw)$
• $u \sim v \iff u - v = o(v)$
• 等价替换：若 $u \sim v$，求极限时因子 $u$ 可替换为 $v$。

• $(1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$
• $\sin x \sim x$
• $\ln(1+x) \sim x$
• $e^x - 1 \sim x$
• $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$