极限是微积分的基石，它从数量上描述了变量在变化过程中的终极趋势。

其基本思想是：为认知某个未知量 $A$，转而考察某个无限接近于 $A$ 的已知变量 $u$。

数列是定义于自然数集 $\mathbb{N}$ 上的函数。

定义 (收敛数列)： 设 $\{x_n\}$ 是一数列。若存在常数 $A$，使得： $$ \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}; \forall n > n_0, \text{有 } |x_n - A| < \varepsilon $$ 则称 $\{x_n\}$ 为收敛数列，记作 $\lim_{n \to \infty} x_n = A$ 或 $x_n \to A$。

定义 (趋于无穷)： $$ \forall b > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n > n_0, \text{有 } x_n > b $$ 则称 $x_n$ 趋向于 $\infty$，记作 $\lim_{n \to \infty} x_n = \infty$。同理可定义 $-\infty$。

统一描述 (邻域法)： $x_n \to A$ 意味着： $$ \forall U = N(A), \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall n > n_0, \text{有 } x_n \in U $$ 其中 $A$ 可为有限数或 $\pm \infty$。

设 $x_n \to A, y_n \to B$ (有限)，则：

• (i) 唯一性：极限若存在则唯一。
• (ii) 有界性：收敛数列必有界 ($\sup |x_n| < \infty$)。
• (iii) 绝对值：$|x_n| \to |A|$。
• (iv) 四则运算：$x_n \pm y_n \to A \pm B$, $x_n y_n \to AB$, $x_n/y_n \to A/B$ ($B \neq 0$)。
• (v) 保序性：若 $x_n \le y_n$，则 $A \le B$。
  • 保号性：若 $A > 0$，则 $n$ 充分大时 $x_n > 0$。
• (vi) 夹逼原理 (Squeeze Theorem)：若 $x_n \le z_n \le y_n$ 且 $A=B$，则 $z_n \to A$。

定理： 若 $\{x_n\}$ 是增序列（或减序列），则： $$ \lim_n x_n = \sup_n x_n (上确界)\quad \text{或} \quad \lim_n x_n = \inf_n x_n (下确界)$$ 推论：单调有界数列必收敛。

• 有理函数：$f(x) = P(x)/Q(x)$，若 $x_n \to a$，则 $f(x_n) \to f(a)$ (分母不为0)。
• 方根极限：$\lim_n \sqrt[n]{n} = 1$, $\lim_n \sqrt[n]{a} = 1 (a>0)$。
• 增长速度比较：$\lim_n \frac{n^k}{a^n} = 0 (a>1)$, $\lim_n \frac{(\log_a n)^k}{n} = 0$。即：指数增长 $\gg$ 多项式增长 $\gg$ 对数增长。

存在无理数 $e$，使得： $$ e = \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = \sum_{k=0}^n \frac{1}{k!} + \frac{\theta}{n!n} \quad (0 < \theta < 1) $$ 该数列单调递增且有上界（$<3$）。

由 $x_n = f(x_{n-1})$ 生成的数列。 命题：若 $f(x)$ 单调增，且 $x_n$ 有界，则 $x_n$ 收敛于方程 $f(x)=x$ 的根。

定义： $$ \varlimsup_n x_n = \inf_n \sup_{k \ge n} x_k, \quad \varliminf_n x_n = \sup_n \inf_{k \ge n} x_k $$

子极限：数列 $\{x_n\}$ 的子列 $\{x_{n_k}\}$ 的极限。 定理：

• (i) $\lim x_n$ 存在 $\iff$ 任何子列有同一极限。
• (ii) 上极限和下极限分别是 $\{x_n\}$ 的最大和最小子极限。
• (iii) $\lim x_n$ 存在 $\iff \varlimsup x_n = \varliminf x_n$。

• 不等式：$\varlimsup (x_n + y_n) \le \varlimsup x_n + \varlimsup y_n$。
• 乘积：若 $x_n, y_n \ge 0$，$\varlimsup (x_n y_n) \le \varlimsup x_n \cdot \varlimsup y_n$。

设 $y_n$ 严格增加且 $y_n \to \infty$，则： $$ \lim_n \frac{x_n}{y_n} = \lim_n \frac{x_n - x_{n-1}}{y_n - y_{n-1}} $$ 只要等式右端极限存在。 *(注：这是离散形式的洛必达法则)*

应用：

• 算术平均极限：若 $x_n \to A$，则 $\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i \to A$。
• 几何平均极限：若 $x_n \to A > 0$，则 $\sqrt[n]{x_1 \dots x_n} \to A$。

本节定理逻辑上等价，刻画了实数系的连续性（完备性）。

数列 $\{x_n\}$ 收敛的充要条件是满足 Cauchy 条件： $$ \forall \varepsilon > 0, \exists n_0 \in \mathbb{N}, \forall m, n > n_0, \text{有 } |x_m - x_n| < \varepsilon $$ 即 $\lim_{m,n \to \infty} |x_m - x_n| = 0$。

设 $J_n = [a_n, b_n]$ 是区间套 ($J_{n+1} \subset J_n$) 且长度趋于 0，则 $J_n$ 有唯一公共点。

设闭区间 $[a, b]$ 被一族开区间 $\Delta$ 覆盖，则可从 $\Delta$ 中取出有限子覆盖。

有界无限集 $A \subset \mathbb{R}$ 必有聚点。 *(聚点：任意邻域内含有集合中无限多个点)*

任何有界数列必有收敛子列。

逻辑链条： 连续性定理 $\Rightarrow$ 确界定理 $\Rightarrow$ Cauchy原理 $\Rightarrow$ 区间套 $\Rightarrow$ 有限覆盖 $\Rightarrow$ 聚点原理 $\Rightarrow$ 紧性定理 $\Rightarrow$ 连续性定理。

将极限概念推广到 $n$ 维欧几里得空间。

序列 $\{\boldsymbol{x}^k\} \subset \mathbb{R}^n$ 收敛于 $\boldsymbol{a}$，即 $|\boldsymbol{x}^k - \boldsymbol{a}| \to 0$。 等价性： $$ \boldsymbol{x}^k \to \boldsymbol{a} \iff x_i^k \to a_i \quad (1 \le i \le n) $$ 即 $n$ 维收敛等价于每个坐标分量收敛。

• Cauchy 原理：$|\boldsymbol{x}^k - \boldsymbol{x}^l| \to 0$。
• 闭集套定理：闭集套 $B_k$ 若直径趋于0，则有唯一公共点。
• 有限覆盖定理：$\mathbb{R}^n$ 中的紧集（有界闭集）的开覆盖必有有限子覆盖。
• 聚点原理：$\mathbb{R}^n$ 中有界无限集必有聚点。
• 紧性定理：$\mathbb{R}^n$ 中有界序列必有收敛子列。

设 $a$ 是定义域 $X$ 的聚点。$\lim_{x \to a} f(x) = A$ 定义为： $$ \forall V = N(A), \exists U = N^*(a) \text{ (去心邻域)}, \forall x \in X \cap U, \text{有 } f(x) \in V $$ 此定义涵盖了 $x \to x_0$, $x \to \infty$, 左右极限等所有情况。

$\lim_{x \to a} f(x)$ 存在 $\iff$ 对任意 $x_n \to a (x_n \neq a)$，数列 $f(x_n)$ 都有同一极限。 *(连接了函数极限与数列极限)*

函数极限具备唯一性、局部有界性、保号性、四则运算规则、夹逼原理等，与数列极限类似。

$\lim_{x \to a} f(x)$ 存在的充要条件： $$ \lim_{x, y \to a} |f(x) - f(y)| = 0 $$

若 $f(x) \to A (x \to a, x \neq a \implies f(x) \neq A)$ 且 $\varphi(y) \to l (y \to A)$，则： $$ \lim_{x \to a} \varphi(f(x)) = l $$

1. 1. 幂指函数极限：

$$ \lim_{x \to \infty} (1 + 1/x)^x = e, \quad \lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e $$

1. 2. 三角函数极限：

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

考察 $\lim_{x \to a, y \to b} f(x, y)$ 与 $\lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x, y)$ 的关系。 定理：若逐次极限函数 $\varphi(x) = \lim_{y \to b} f(x, y)$ 存在，且二重极限存在，则二者相等。 *(注：二重极限存在要求更高，沿任意路径趋近都相等)*

• 无穷小量：若 $\lim u = 0$。
• 无穷大量：若 $\lim |u| = \infty$。

设在同一极限过程中：

• 高阶无穷小 ($o$)：$u = o(v) \iff \lim u/v = 0$。
• 同阶无穷小 ($O^*$)：$u = O^*(v) \iff 0 < \lim |u/v| < \infty$。
• 有界量 ($O$)：$u = O(v) \iff \varlimsup |u/v| < \infty$。
• 等价无穷小 ($\sim$)：$u \sim v \iff \lim u/v = 1$。

运算规则：

• $o(o(w)) = o(w)$
• $o(v) \cdot O(w) = o(vw)$
• $u \sim v \iff u - v = o(v)$
• 等价替换：若 $u \sim v$，求极限时因子 $u$ 可替换为 $v$。

• $(1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$
• $\sin x \sim x$
• $\ln(1+x) \sim x$
• $e^x - 1 \sim x$
• $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$

极限的概念经历了从“直观的动态接近”到“严格的静态量化”的演变。

当自变量 $x$ 无限接近于 $x_0$（但不等于 $x_0$）时，函数 $f(x)$ 的值无限接近于一个确定的常数 $A$，则称 $A$ 为 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ 时的极限。

这是由柯西（Cauchy）和魏尔斯特拉斯（Weierstrass）建立的现代分析语言，解决了牛顿时代“无穷小”定义的模糊性。

定义： 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义。如果存在常数 $A$，对于任意给定的正数 $\epsilon$（无论它多么小），总存在正数 $\delta$，使得当 $x$ 满足不等式 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 都满足不等式： $$ |f(x) - A| < \epsilon $$ 那么常数 $A$ 就叫做函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0$ 时的极限，记作： $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = A $$

逻辑符号表示： $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = A \iff \forall \epsilon > 0, \exists \delta > 0 : 0 < |x - x_0| < \delta \implies |f(x) - A| < \epsilon $$

注解：这里的 $\epsilon$ 刻画了“误差”的任意小，而 $\delta$ 刻画了自变量接近 $x_0$ 的程度。

这段公式若用300年前的用语描述，则是在说，$x=x_0 + dx,f(x) = A + dy$ ，其中$|dx|、|dy|<任意正数，为无穷小$，则x的极限为$x_0$，$f(x)$的极限为$A$，因为无穷小的极限为0。

在进行极限运算时，以下性质至关重要：

• 唯一性：如果极限 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，那么这个极限是唯一的。(无穷小只有一个极限就是0)
• 有界性：如果 $\lim_{x \to x_0} f(x)$ 存在，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有界。(dy只变化了一个无穷小，就取这个范围大一点)
• 保号性：如果 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A > 0$，则在 $x_0$ 的某去心邻域内 $f(x) > 0$。(dy只变化了一个无穷小，就取这个范围大一点)

在微积分中，判断极限是否存在以及求解极限值是核心问题。以下是数学分析中常用的判定方法和计算技巧的全面梳理。

这是判断极限最本质的方法，通常用于证明极限存在，而非直接计算。

• 数列极限 ($\varepsilon - N$ 语言):

对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，总存在正整数 $N$，使得当 $n > N$ 时，恒有 $|x_n - A| < \varepsilon$，则 $\lim_{n \to \infty} x_n = A$。

• 函数极限 ($\varepsilon - \delta$ 语言):

对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，总存在 $\delta > 0$，使得当 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，恒有 $|f(x) - A| < \varepsilon$，则 $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$。

适用场景：理论证明，或者验证已知极限值的正确性。

如果两个极限都存在，即 $\lim f(x) = A$ 且 $\lim g(x) = B$，则：

• $ \lim [f(x) \pm g(x)] = A \pm B $
• $ \lim [f(x) \cdot g(x)] = A \cdot B $
• $ \lim \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{A}{B} $ (其中 $B \neq 0$)

注意：前提是拆分后的每一部分极限都必须存在。

也称为“三明治定理”或“迫敛性定理”。

定理内容： 如果存在 $N$ (或 $\delta$)，使得在该范围内满足 $g(x) \le f(x) \le h(x)$，且： $ \lim g(x) = \lim h(x) = A $ 那么，$\lim f(x)$ 也存在，且等于 $A$。

适用场景：

• 难以直接计算，但容易找到上下界的情况。
• 含有 $n$ 项和的数列极限（通过放缩法）。
• 含有 $\sin(1/x)$ 等震荡因子与趋于0的因子相乘时。

这是证明数列极限存在的强有力工具。

定理内容：

• 单调递增且有上界的数列必收敛。
• 单调递减且有下界的数列必收敛。

步骤：

1. 1. 证明 $x_{n+1} \ge x_n$ (或 $\le$)。
2. 2. 找到常数 $M$，证明 $x_n \le M$ (或 $\ge$)。
3. 3. 设极限为 $A$，对递推公式两边取极限解出 $A$。

适用场景：由递推公式给出的数列 ($x_{n+1} = f(x_n)$)。

这是判断极限存在的充要条件，且不需要预先知道极限值。

定理内容： 数列 $\{x_n\}$ 收敛的充要条件是：对于任意 $\varepsilon > 0$，存在正整数 $N$，使得当 $n, m > N$ 时，恒有 $|x_n - x_m| < \varepsilon$。

适用场景：

• 级数收敛性的判定。
• 难以找到具体的极限值 $A$，但需要证明极限存在时。

在 $x \to 0$ 时，利用等价关系简化计算。

常用公式：

• $ \sin x \sim x $
• $ \tan x \sim x $
• $ \arcsin x \sim x $
• $ \ln(1+x) \sim x $
• $ e^x - 1 \sim x $
• $ 1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2 $
• $ (1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x $

注意：通常只在乘除因子中使用，加减法中使用需非常小心（只有当两项之差不是高阶无穷小时才可用）。

处理 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型不定式的利器。

定理内容： 若 $\lim f(x) = 0, \lim g(x) = 0$ (或均为 $\infty$)，且 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 存在，$g'(x) \neq 0$，则： $ \lim \frac{f(x)}{g(x)} = \lim \frac{f'(x)}{g'(x)} $ (前提是右边的极限存在或为无穷大)。

适用场景：函数可导，且求导后形式变简单的情况。

处理复杂极限（尤其是复合函数、加减法消去低阶项）的最强工具。

方法： 将函数在某点（通常是 0）展开为多项式： $ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n) $

适用场景：

• 洛必达法则求导多次非常繁琐时。
• 分子或分母由多个函数加减组成，存在相互抵消的情况（“变变大，变变小”）。

可以看作是数列形式的洛必达法则。

定理内容： 设 $\{b_n\}$ 是严格单调递增趋于 $+\infty$ 的数列。如果： $ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n+1} - a_n}{b_{n+1} - b_n} = L $ 那么： $ \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = L $

适用场景：

• $\frac{\infty}{\infty}$ 型的数列极限。
• 分母通常是 $n$ 或 $n^k$ 等形式。

如果函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，则极限等于函数值： $ \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0) $

适用场景：初等函数在其定义域内通常都是连续的，直接代入即可。

也称为“归结原则”，连接了函数极限与数列极限。

定理内容： $\lim_{x \to x_0} f(x) = A$ 的充要条件是：对于任意满足 $\lim_{n \to \infty} x_n = x_0$ ($x_n \neq x_0$) 的数列 $\{x_n\}$，都有 $\lim_{n \to \infty} f(x_n) = A$。

适用场景：

• 用于证明函数极限不存在（找到两个趋于 $x_0$ 的数列，其对应的函数值趋于不同的极限）。

微积分中有两个极其重要的极限公式，它们是导数运算的基础。

涉及三角函数的极限，主要用于解决 $\frac{0}{0}$ 型问题。

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

证明思路（几何法/夹逼准则）： 在单位圆中，当 $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ 时，比较三角形面积与扇形面积可得不等式： $$ \sin x < x < \tan x $$

同时除以 $\sin x$ 并取倒数，得到： $$ \cos x < \frac{\sin x}{x} < 1 $$ 当 $x \to 0$ 时，$\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ 且 $\lim_{x \to 0} 1 = 1$。 根据夹逼定理，可得 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$。

引申公式：

• $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{\arcsin x}{x} = 1$
• $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$

涉及幂指函数的极限，是自然对数底 $e$ 的定义来源，用于解决 $1^\infty$ 型问题。

$$ \lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e $$ 或者等价形式（当 $x \to 0$）： $$ \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e $$ 其中 $e \approx 2.71828...$ 是一个无理数。

这个极限的证明过程主要分为两步：首先证明数列极限存在（即当 $x$ 取正整数 $n$ 时），然后将其推广到实数范围。

我们考察数列 $x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n$。根据单调有界准则，我们需要证明该数列是单调递增且有上界的。

1. 证明数列单调递增

利用牛顿二项式定理展开 $x_n$：

$ x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = 1 + C_n^1 \frac{1}{n} + C_n^2 \frac{1}{n^2} + \dots + C_n^n \frac{1}{n^n} $

将组合数展开并整理每一项：

$ x_n = 1 + 1 + \frac{1}{2!}\left(1 - \frac{1}{n}\right) + \frac{1}{3!}\left(1 - \frac{1}{n}\right)\left(1 - \frac{2}{n}\right) + \dots + \frac{1}{n!}\left(1 - \frac{1}{n}\right)\dots\left(1 - \frac{n-1}{n}\right) $

同理，写出 $x_{n+1}$ 的展开式：

$ x_{n+1} = 1 + 1 + \frac{1}{2!}\left(1 - \frac{1}{n+1}\right) + \dots + \frac{1}{n!}\left(1 - \frac{1}{n+1}\right)\dots\left(1 - \frac{n-1}{n+1}\right) + \frac{1}{(n+1)!}\dots $

比较 $x_n$ 和 $x_{n+1}$：

• 项数比较：$x_{n+1}$ 比 $x_n$ 多了一项（第 $n+2$ 项），且该项为正数。
• 对应项比较：对于每一项，由于 $n+1 > n$，所以 $\frac{1}{n+1} < \frac{1}{n}$，进而 $1 - \frac{k}{n+1} > 1 - \frac{k}{n}$。

因此，$x_{n+1}$ 的每一项都大于或等于 $x_n$ 的对应项。 结论：$x_n < x_{n+1}$，即数列单调递增。

2. 证明数列有上界

回到 $x_n$ 的展开式，因为括号内的因子 $(1 - \frac{k}{n})$ 都小于 1，去掉这些因子后数值变大：

$ x_n < 1 + 1 + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{n!} $

利用放缩法，当 $k \ge 2$ 时，$k! \ge 2^{k-1}$，所以 $\frac{1}{k!} \le \frac{1}{2^{k-1}}$：

$ x_n < 1 + \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \dots + \frac{1}{2^{n-1}} \right) $

括号内是首项为 1、公比为 $1/2$ 的等比数列：

$ x_n < 1 + \frac{1 - (1/2)^n}{1 - 1/2} = 1 + 2\left(1 - \frac{1}{2^n}\right) < 3 $

结论：$x_n < 3$，即数列有上界。

3. 数列极限结论

根据单调有界数列必收敛定理，数列 $x_n$ 的极限存在。我们将这个极限值定义为常数 $e$： $ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e $

设 $x$ 为任意正实数，令 $n = [x]$（$x$ 的整数部分），则有： $ n \le x < n + 1 $

由此可得倒数关系： $ \frac{1}{n+1} < \frac{1}{x} \le \frac{1}{n} $

进而得到底数的不等式： $ 1 + \frac{1}{n+1} < 1 + \frac{1}{x} \le 1 + \frac{1}{n} $

利用指数的单调性构造夹逼不等式： $ \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^n < \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x < \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} $

利用夹逼定理分别求左右两边的极限：

• 右边极限：

$ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{n+1} = \lim_{n \to \infty} \left[\left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)\right] = e \cdot 1 = e $

• 左边极限：

令 $t = n+1$，则 $n = t-1$。

$ \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n+1}\right)^n = \lim_{t \to \infty} \left(1 + \frac{1}{t}\right)^{t-1} = \lim_{t \to \infty} \frac{(1 + 1/t)^t}{1 + 1/t} = \frac{e}{1} = e $

最终结论： 由于左右两边的极限都等于 $e$，根据夹逼定理： $ \lim_{x \to +\infty} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e $