无穷小量 (Infinitesimal)
无穷小量是微积分（Calculus）中的基石概念之一，它描述了一个变量在变化过程中，其绝对值无限接近于零的状态。
1. 定义 (Definition)
无穷小量并不是一个非常小的数，而是一个变量。
1.1 描述性定义
如果函数 $f(x)$ 当 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）时的极限为零，那么称 $f(x)$ 为当 $x \to x_0$（或 $x \to \infty$）时的无穷小量。
即： $$ \lim_{x \to x_0} f(x) = 0 $$
注意：
- 无穷小量是相对于极限过程而言的。单独一个数（除了 $0$ 本身）不能被称为无穷小量。
- 数 $0$ 是唯一可以被视为无穷小量的常数。
1.2 精确定义 ($\epsilon-\delta$ 语言)
设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义。如果对于任意给定的正数 $\epsilon > 0$（无论它多么小），总存在正数 $\delta > 0$，使得当 $x$ 满足 $0 < |x - x_0| < \delta$ 时，对应的函数值 $f(x)$ 满足： $$ |f(x)| < \epsilon $$ 则称 $f(x)$ 是当 $x \to x_0$ 时的无穷小量。
2. 无穷小与无穷大的关系
无穷小量与无穷大量（Infinity）之间存在倒数关系：
- 在自变量的同一变化过程中，如果 $f(x)$ 是无穷大，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷小。
- 如果 $f(x)$ 是无穷小且 $f(x) \neq 0$，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是无穷大。
3. 无穷小的性质 (Properties)
| 性质 | 描述 | 数学表达 |
|---|---|---|
| 有限和封闭性 | 有限个无穷小的代数和仍是无穷小。 | 若 $\lim \alpha = 0, \lim \beta = 0$，则 $\lim(\alpha \pm \beta) = 0$ |
| 有界乘积 | 有界函数与无穷小的乘积是无穷小。 | 若 $|u(x)| \le M$ 且 $\lim \alpha(x) = 0$，则 $\lim (u(x) \cdot \alpha(x)) = 0$ |
| 常数乘积 | 常数与无穷小的乘积是无穷小。 | 若 $k$ 为常数，$\lim \alpha = 0$，则 $\lim (k \cdot \alpha) = 0$ |
| 乘积封闭性 | 有限个无穷小的乘积仍是无穷小。 | 若 $\lim \alpha = 0, \lim \beta = 0$，则 $\lim(\alpha \cdot \beta) = 0$ |
重要推论： 因为 $\sin x$ 和 $\cos x$ 是有界函数，所以当 $x \to 0$ 时，$x \sin(\frac{1}{x})$ 是无穷小（虽然 $\sin(\frac{1}{x})$ 极限不存在，但它有界）。
4. 无穷小的比较 (Comparison of Orders)
两个无穷小量趋于零的速度可能不同。为了比较它们，我们计算它们的比值的极限。 设 $\alpha$ 和 $\beta$ 是同一极限过程中的两个无穷小，且 $\alpha \neq 0$。
| 极限结果 $\lim \frac{\beta}{\alpha}$ | 定义 | 记号 |
|---|---|---|
| $= 0$ | $\beta$ 是 $\alpha$ 的 高阶无穷小 | $\beta = o(\alpha)$ |
| $= \infty$ | $\beta$ 是 $\alpha$ 的 低阶无穷小 | - |
| $= C \neq 0$ | $\beta$ 是 $\alpha$ 的 同阶无穷小 | $\beta \sim C \alpha$ |
| $= 1$ | $\beta$ 是 $\alpha$ 的 等价无穷小 | $\beta \sim \alpha$ |
| $\lim \frac{\beta}{\alpha^k} = C \neq 0, k>0$ | $\beta$ 是 $\alpha$ 的 k阶无穷小 | - |
关于 $o(\alpha)$ (佩亚诺余项 Peano form): 符号 $o(\alpha)$ 代表一个比 $\alpha$ 趋近于 0 速度更快的量。即： $$ \lim \frac{o(\alpha)}{\alpha} = 0 $$
5. 常用等价无穷小 (Common Equivalent Infinitesimals)
当 $x \to 0$ 时，以下公式成立（这是计算极限的神器）：
| 三角函数与反三角函数 | 指数与对数函数 | 幂函数与二项式 |
|---|---|---|
| $\sin x \sim x$ | $e^x - 1 \sim x$ | $\sqrt[n]{1+x} - 1 \sim \frac{1}{n}x$ |
| $\tan x \sim x$ | $\ln(1+x) \sim x$ | $(1+x)^\mu - 1 \sim \mu x$ |
| $\arcsin x \sim x$ | $\log_a(1+x) \sim \frac{x}{\ln a}$ | $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$ |
| $\arctan x \sim x$ | $a^x - 1 \sim x \ln a$ |
6. 无穷小的运算规则 (Arithmetic Rules)
在使用泰勒公式（Taylor Series）或进行阶的分析时，以下运算规则非常有用：
- $o(x^n) \pm o(x^n) = o(x^n)$
- $c \cdot o(x^n) = o(x^n)$ ($c \neq 0$)
- $x^m \cdot o(x^n) = o(x^{m+n})$
- $o(x^m) \cdot o(x^n) = o(x^{m+n})$
- $\frac{o(x^n)}{x^m} = o(x^{n-m})$ (其中 $n > m$)
7. 等价无穷小替换定理 (Replacement Theorem)
定理： 设 $\alpha \sim \alpha', \beta \sim \beta'$，且 $\lim \frac{\beta'}{\alpha'}$ 存在，则： $$ \lim \frac{\beta}{\alpha} = \lim \frac{\beta'}{\alpha'} $$
警告 (Pitfalls)：
- 乘除法中可以安全地使用等价无穷小替换。
- 加减法中不能随意使用等价无穷小替换（除非满足特定严格条件，否则容易导致精度丢失，得出错误结果）。
- 错误示例：计算 $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3}$。若直接替换 $\tan x \sim x, \sin x \sim x$，得到 $\frac{x-x}{x^3} = 0$，这是错误的。
- 正确做法：$\tan x - \sin x = \tan x (1 - \cos x) \sim x \cdot \frac{1}{2}x^2 = \frac{1}{2}x^3$，故极限为 $1/2$。
8. 泰勒公式中的无穷小 (Taylor Series Context)
泰勒公式将函数表示为多项式与无穷小余项的和。 若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处 $n$ 阶可导，则：
$$ f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2 + \dots + \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n + o((x-x_0)^n) $$
其中 $o((x-x_0)^n)$ 称为佩亚诺余项，表示比 $n$ 次幂更高阶的无穷小误差。
张叶安