本章节基于 Dedekind 分划理论建立严格的实数系统，定义了序关系与四则运算，并在此基础上重新阐述了初等函数的定义与性质。

分划定义的引入： 设 $A, B$ 是两个数集，约定： $$ \begin{cases} A < B \Leftrightarrow \forall a \in A, \forall b \in B, \text{有 } a < b \\ A \leqslant B \Leftrightarrow \forall a \in A, \forall b \in B, \text{有 } a \leqslant b \end{cases} \tag{1} $$

若有理数集 $\mathbb{Q}$ 的两个子集 $A, A'$ 满足：

1. (i) $A \neq \emptyset, A' \neq \emptyset$ 且 $\mathbb{Q} = A \cup A'$
2. (ii) $A < A'$

则称 $A \mid A'$ 是 $\mathbb{Q}$ 的一个分划。

实数的定义：

• 有理数： 若 $A$ 有最大数或 $A'$ 有最小数 $r$，则分划定义有理数 $r$。
• 无理数： 若分划不以有理数为界数（即 $A$ 无最大数且 $A'$ 无最小数），则定义一个无理数 $\alpha$。
• 实数系 $\mathbb{R}$： 有理数分划之全体。记为 $\alpha = A \mid A'$。

设 $\alpha = A \mid A', \beta = B \mid B'$：

• 大小定义： 若 $A \subset B$，则 $\alpha \leqslant \beta$。若 $A \subsetneq B$，则 $\alpha < \beta$。
• 性质 ：
  • 自反性、传递性、反对称性。
  • 完全性： $\alpha < \beta, \alpha = \beta, \alpha > \beta$ 恰有一个成立。
  • 稠密性： $\alpha < \beta \Rightarrow \exists r \in \mathbb{Q}: \alpha < r < \beta$。
  • 逼近性： $\forall \varepsilon > 0, \exists r, s \in \mathbb{Q}$，使 $r < \alpha < s, s - r < \varepsilon$。
  • Archimedes 性质： $\exists n \in \mathbb{N}, n > \alpha$。

连续性定理 (Dedekind)： $\mathbb{R}$ 的任一分划 $A \mid A'$ 均有一界数 $\beta$（$\beta$ 为 $A$ 的最大数或 $A'$ 的最小数）。这体现了实数系的完备性。

定义：

• 上确界 ($\sup A$)： 最小上界。
• 下确界 ($\inf A$)： 最大下界。
• 广义实数系 $\overline{\mathbb{R}}$： $\mathbb{R} \cup \{+\infty, -\infty\}$。

确界定理 (2.1.6)： $\mathbb{R}$ 中任何非空子集 $A$ 在 $\overline{\mathbb{R}}$ 中必有上确界和下确界。

确界的性质与公式： $$ -\infty \leqslant \inf A \leqslant \sup A \leqslant \infty \tag{2} $$ $$ A \leqslant B \Rightarrow \sup A \leqslant \inf B \tag{3} $$ $$ A \subset B \Rightarrow \inf A \geqslant \inf B, \quad \sup A \leqslant \sup B \tag{4} $$

确界的充要条件： $$ \begin{cases} M = \sup A \Leftrightarrow A \leqslant M \text{ 且 } \forall b \in (-\infty, M), \exists a \in A \cap (b, M] \\ m = \inf A \Leftrightarrow A \geqslant m \text{ 且 } \forall b \in (m, \infty), \exists a \in A \cap [m, b) \end{cases} \tag{5a} $$

二元集记号： $$ a \vee b = \max \{a, b\}, \quad a \wedge b = \min \{a, b\} \tag{6} $$

利用有理数逼近定义实数运算： 加法：

$$ \alpha + \beta = \sup \{a + b : a, b \in \mathbb{Q}, a < \alpha, b < \beta\} \tag{7} $$

乘法 (针对正数)：

$$ \alpha \beta = \sup \{ab : a, b \in \mathbb{Q}, 0 < a < \alpha, 0 < b < \beta\} \tag{8} $$

*(其他情况通过符号法则定义)*

定义： $$ |\alpha| = \begin{cases} \alpha & (\alpha \geqslant 0) \\ -\alpha & (\alpha < 0) \end{cases} \tag{9} $$

重要不等式： $$ \big| |\alpha| - |\beta| \big| \leqslant |\alpha - \beta| \tag{10} $$ $$ \left| \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \right| \leqslant \sum_{i=1}^{n} |\alpha_i| \tag{10} $$

$$ \begin{cases} \infty + a = \infty \cdot b = \infty & (-\infty < a \leqslant \infty, b > 0) \\ -\infty + a = (-\infty) \cdot b = \infty \cdot (-b) = -\infty & (-\infty \leqslant a < \infty, b > 0) \\ a / (\pm \infty) = 0 & (a \in \mathbb{R}) \end{cases} \tag{11} $$ *注：$\infty - \infty, \infty \cdot 0, a/0$ 无意义。*

集合运算定义： $$ \begin{cases} A + B = \{a + b : a \in A, b \in B\} \\ AB = \{ab : a \in A, b \in B\} \\ -A = \{-a : a \in A\}, \quad A^{-1} = \{a^{-1} : a \in A\} (0 \notin A) \end{cases} \tag{12} $$

确界运算性质： $$ \begin{cases} \sup(A + B) = \sup A + \sup B \\ \inf(A + B) = \inf A + \inf B \\ \sup(-A) = -\inf A \end{cases} \tag{13} $$

若 $A, B \subset (0, \infty)$： $$ \begin{cases} \sup AB = \sup A \sup B \\ \inf AB = \inf A \inf B \\ \sup A^{-1} = (\inf A)^{-1} & (\inf A \neq 0) \end{cases} \tag{14} $$

函数确界不等式： $$ \begin{cases} \sup_{x \in X} [f(x) + g(x)] \leqslant \sup_{x \in X} f(x) + \sup_{x \in X} g(x) \\ \inf_{x \in X} [f(x) + g(x)] \geqslant \inf_{x \in X} f(x) + \inf_{x \in X} g(x) \end{cases} \tag{15} $$ 若 $f, g \geqslant 0$： $$ \sup_{x \in X} [f(x)g(x)] \leqslant \sup_{x \in X} f(x) \sup_{x \in X} g(x) \tag{16} $$

• 多项式与有理函数：

$$ P(x) = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i, \quad f(x) = P(x) / Q(x) \tag{17, 18} $$

• 幂函数 $x^\alpha$：
  • 若 $\alpha = 1/n$，定义为算术根：

$$ x^{1/n} = \sup \{\xi : \xi^n \leqslant x\} \quad (x > 0) \tag{19} $$

• 若 $\alpha$ 为无理数：

$$ x^\alpha = \begin{cases} \sup \{x^r : r \in \mathbb{Q} \cap (0, \alpha)\} & (x \geqslant 1) \\ [(x^{-1})^\alpha]^{-1} & (0 < x < 1) \end{cases} \tag{20} $$

• 指数函数 $a^x$：
  • $a^x = \sup \{a^r : r \in \mathbb{Q}, r < x\}$ (当 $a>1$)。
  • 性质：$a^{x+y} = a^x a^y$。

• 对数函数 $\log_a x$：
  • 定义为 $a^\xi = x$ 的根。
  • 公式：

$$ a^{\log_a x} = x \tag{24} $$ $$ \log_b x = \log_b a \log_a x, \quad \log_a x^\alpha = \alpha \log_a x \tag{25} $$ $$ x^\alpha = a^{\alpha \log_a x} \tag{27} $$

• 三角函数：
  • $\sin x$ 为周期 $2\pi$ 的奇函数。
  • 反三角函数关系：

$$ \arccos x = \frac{\pi}{2} - \arcsin x \quad (|x| \leqslant 1) \tag{29} $$ $$ \operatorname{arccot} x = \frac{\pi}{2} - \arctan x \quad (|x| < \infty) $$

定义：

$$ \begin{cases} \operatorname{sh} x = \frac{e^x - e^{-x}}{2} \\ \operatorname{ch} x = \frac{e^x + e^{-x}}{2} \\ \operatorname{th} x = \frac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch} x} \\ \operatorname{coth} x = \frac{1}{\operatorname{th} x} \quad (x \neq 0) \end{cases} \tag{30} $$

恒等式：

$$ \begin{cases} \operatorname{sh}(x \pm y) = \operatorname{sh} x \operatorname{ch} y \pm \operatorname{ch} x \operatorname{sh} y \\ \operatorname{ch}(x \pm y) = \operatorname{ch} x \operatorname{ch} y \pm \operatorname{sh} x \operatorname{sh} y \end{cases} \tag{31} $$

$$ \operatorname{ch}^2 x - \operatorname{sh}^2 x = 1 \tag{32} $$ $$ \begin{cases} \operatorname{sh} 2x = 2 \operatorname{sh} x \\ \operatorname{ch} 2x = 2 \operatorname{ch}^2 x - 1 = 2 \operatorname{sh}^2 x + 1 \end{cases} \tag{33} $$

反双曲函数 (对数表达式)：

• 反双曲正弦：

$$ \operatorname{arsh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \quad (x \in \mathbb{R}) \tag{34a} $$

• 反双曲余弦：

$$ \operatorname{arch} x = \ln(x + \sqrt{x^2 - 1}) \quad (x \geqslant 1) \tag{34b} $$

• 反双曲正切：

$$ \operatorname{arth} x = \frac{1}{2} \ln \frac{1+x}{1-x} \quad (|x| < 1) \tag{34c} $$

• 反双曲余切：

$$ \operatorname{arcoth} x = \frac{1}{2} \ln \frac{x+1}{x-1} \quad (|x| > 1) \tag{34d} $$