多重积分是单变量定积分在多维空间中的推广。二重积分通常用于计算曲面下的体积或平面薄片的质量；三重积分通常用于计算立体的质量或体积。

二重积分是对定义在二维区域 $D$ 上的函数 $f(x,y)$ 的积分，记作： $$ \iint_D f(x,y) \, dA $$ 其中 $dA$ 是面积微元，在直角坐标系中 $dA = dx\,dy$ 或 $dy\,dx$。

计算二重积分的关键是将它转化为累次积分 (Iterated Integrals)。根据区域 $D$ 的形状，通常分为两种类型：

区域由上下两条曲线 $y=g_1(x)$ 和 $y=g_2(x)$ 以及左右直线 $x=a$ 和 $x=b$ 围成。 $$ D = \{ (x,y) \mid a \le x \le b, g_1(x) \le y \le g_2(x) \} $$ 积分顺序为先 $y$ 后 $x$： $$ \iint_D f(x,y) \, dA = \int_a^b \left[ \int_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) \, dy \right] dx $$ 技巧： 沿 $y$ 轴方向画一条穿过区域的箭头，箭头进入的边界是下限，离开的边界是上限。

区域由左右两条曲线 $x=h_1(y)$ 和 $x=h_2(y)$ 以及上下直线 $y=c$ 和 $y=d$ 围成。 $$ D = \{ (x,y) \mid c \le y \le d, h_1(y) \le x \le h_2(y) \} $$ 积分顺序为先 $x$ 后 $y$： $$ \iint_D f(x,y) \, dA = \int_c^d \left[ \int_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) \, dx \right] dy $$

当积分区域 $D$ 是圆形、扇形或圆环，或者被积函数包含 $x^2+y^2$ 时，使用极坐标更方便。

变换公式： * $x = r \cos \theta$ * $y = r \sin \theta$ * $x^2 + y^2 = r^2$

面积微元变换（重要）： $$ dA = dx\,dy = r \, dr \, d\theta $$ 注意：不要忘记乘以 $r$。

积分形式： 如果区域 $D$ 可以表示为 $\alpha \le \theta \le \beta, h_1(\theta) \le r \le h_2(\theta)$，则： $$ \iint_D f(x,y) \, dA = \int_{\alpha}^{\beta} \int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \, r \, dr \, d\theta $$

三重积分是对定义在三维空间区域 $E$ 上的函数 $f(x,y,z)$ 的积分，记作： $$ \iiint_E f(x,y,z) \, dV $$

通常的积分顺序有 $dz\,dy\,dx$, $dz\,dx\,dy$ 等 6 种。最常见的是先对 $z$ 积分（投影法）： $$ \iiint_E f(x,y,z) \, dV = \iint_D \left[ \int_{u_1(x,y)}^{u_2(x,y)} f(x,y,z) \, dz \right] dA $$ 其中 $D$ 是立体 $E$ 在 $xy$ 平面上的投影区域。

柱面坐标是极坐标在三维空间的延伸，适用于具有轴对称性的立体（如圆柱、圆锥）。

变换公式： * $x = r \cos \theta$ * $y = r \sin \theta$ * $z = z$

体积微元： $$ dV = r \, dz \, dr \, d\theta $$

积分形式： $$ \iiint_E f(x,y,z) \, dV = \int_{\alpha}^{\beta} \int_{h_1(\theta)}^{h_2(\theta)} \int_{u_1(r,\theta)}^{u_2(r,\theta)} f(r\cos\theta, r\sin\theta, z) \, r \, dz \, dr \, d\theta $$

适用于球体、锥体或包含 $x^2+y^2+z^2$ 的区域。

定义： * $\rho$: 原点到点的距离 ($\rho \ge 0$) * $\theta$: 在 $xy$ 平面上的投影与 $x$ 轴的夹角 ($0 \le \theta \le 2\pi$) * $\phi$: 点与原点的连线与正 $z$ 轴的夹角 ($0 \le \phi \le \pi$)

变换公式： * $x = \rho \sin \phi \cos \theta$ * $y = \rho \sin \phi \sin \theta$ * $z = \rho \cos \phi$ * $x^2 + y^2 + z^2 = \rho^2$

体积微元（非常重要）： $$ dV = \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta $$

积分形式： $$ \iiint_E f(x,y,z) \, dV = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \int_{\phi_1}^{\phi_2} \int_{\rho_1}^{\rho_2} f(\dots) \, \rho^2 \sin \phi \, d\rho \, d\phi \, d\theta $$

对于一般的坐标变换 $x = g(u,v), y = h(u,v)$，我们需要引入修正因子来保证积分值的正确性，这个因子就是雅可比行列式 (Jacobian) 的绝对值。

雅可比行列式定义： $$ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix} $$

变量代换公式： $$ \iint_R f(x,y) \, dA = \iint_S f(g(u,v), h(u,v)) \left| \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} \right| \, du \, dv $$

常见雅可比值回顾： * 极坐标：$J = r$ * 柱坐标：$J = r$ * 球坐标：$J = \rho^2 \sin \phi$

多重积分在几何和物理中有广泛应用。

1. 画图：这是最重要的一步。画出积分区域 $D$ 或 $E$。 2. 选择坐标系：

• 矩形区域 $\to$ 直角坐标。
• 圆形/扇形 $\to$ 极坐标。
• 圆柱/圆锥 $\to$ 柱坐标。
• 球体/锥体 $\to$ 球坐标。

3. 确定积分限：使用“穿箭法”（Ray tracing）。

• 对于二重积分：固定 $x$，沿 $y$ 方向穿箭，进为下限，出为上限。
• 对于三重积分：先投影到平面（如 $xy$ 面），确定 $z$ 的范围，再在投影面上确定 $x, y$ 的范围。

4. 计算：从内层向外层依次积分。