定义 7.1 设 $D$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的有界闭区域，$f(x,y)$ 是 $D$ 上的有界函数。将 $D$ 分割为 $n$ 个小区域 $\Delta\sigma_i$，在每个小区域上任取一点 $(\xi_i, \eta_i)$，记 $\lambda = \max\{\text{diam}(\Delta\sigma_i)\}$，若极限 $$\iint_D f(x,y)d\sigma = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i)\Delta\sigma_i$$ 存在（与分割方式和取点方式无关），则称此极限为 $f$ 在 $D$ 上的二重积分。

几何意义

• 当 $f(x,y) \geq 0$ 时，$\iint_D f(x,y)d\sigma$ 表示以 $D$ 为底、以曲面 $z=f(x,y)$ 为顶的曲顶柱体的体积
• 当 $f(x,y) \equiv 1$ 时，$\iint_D d\sigma = \sigma(D)$ 表示区域 $D$ 的面积

存在性定理 若 $f(x,y)$ 在有界闭区域 $D$ 上连续，或分片连续且有界，则 $f$ 在 $D$ 上可积。

基本性质

1. 线性性：$\iint_D [\alpha f + \beta g]d\sigma = \alpha\iint_D fd\sigma + \beta\iint_D gd\sigma$
2. 区域可加性：若 $D = D_1 \cup D_2$ 且 $D_1, D_2$ 无公共内点，则 $\iint_D fd\sigma = \iint_{D_1} fd\sigma + \iint_{D_2} fd\sigma$
3. 单调性：若 $f \leq g$，则 $\iint_D fd\sigma \leq \iint_D gd\sigma$
4. 积分中值定理：若 $f$ 连续，则 $\exists (\xi,\eta) \in D$ 使得 $\iint_D fd\sigma = f(\xi,\eta) \cdot \sigma(D)$

直角坐标系

• X-型区域：$D = \{(x,y): a \leq x \leq b, \varphi_1(x) \leq y \leq \varphi_2(x)\}$

$$\iint_D f(x,y)d\sigma = \int_a^b dx \int_{\varphi_1(x)}^{\varphi_2(x)} f(x,y)dy$$

• Y-型区域：$D = \{(x,y): c \leq y \leq d, \psi_1(y) \leq x \leq \psi_2(y)\}$

$$\iint_D f(x,y)d\sigma = \int_c^d dy \int_{\psi_1(y)}^{\psi_2(y)} f(x,y)dx$$

极坐标系 变换 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta$，面积元素 $d\sigma = r\,drd\theta$ $$\iint_D f(x,y)d\sigma = \iint_{D'} f(r\cos\theta, r\sin\theta) \cdot r\,drd\theta$$

适用情形：圆形区域、环形区域、扇形区域，或被积函数含 $x^2+y^2$ 形式。

对称性简化

1. 若 $D$ 关于 $x$ 轴对称，$f(x,-y) = -f(x,y)$（奇），则积分为 $0$；若为偶，则 $2\times$上半区域
2. 若 $D$ 关于 $y=x$ 对称，则 $\iint_D f(x,y)d\sigma = \iint_D f(y,x)d\sigma$

定义 7.2 类似地，对于空间有界闭区域 $\Omega$ 上的有界函数 $f(x,y,z)$，将 $\Omega$ 分割为 $n$ 个小立体 $\Delta v_i$，任取 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \in \Delta v_i$，若极限 $$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\Delta v_i$$ 存在，则称此极限为 $f$ 在 $\Omega$ 上的三重积分。

物理意义

• 当 $f(x,y,z)$ 表示体密度时，三重积分表示物体的质量
• 当 $f \equiv 1$ 时，表示区域 $\Omega$ 的体积

计算方法

直角坐标系（先一后二 / 先二后一）

• 穿针法：$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv = \iint_{D_{xy}} dxdy \int_{z_1(x,y)}^{z_2(x,y)} f(x,y,z)dz$
• 切片法：$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv = \int_a^b dz \iint_{D_z} f(x,y,z)dxdy$

柱坐标系 $x = r\cos\theta, y = r\sin\theta, z = z$，体积元素 $dv = r\,drd\theta dz$ $$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv = \iiint_{\Omega'} f(r\cos\theta,r\sin\theta,z) \cdot r\,drd\theta dz$$

球坐标系 $x = r\sin\varphi\cos\theta, y = r\sin\varphi\sin\theta, z = r\cos\varphi$，体积元素 $dv = r^2\sin\varphi\,drd\varphi d\theta$ $$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv = \iiint_{\Omega'} f(r\sin\varphi\cos\theta,r\sin\varphi\sin\theta,r\cos\varphi) \cdot r^2\sin\varphi\,drd\varphi d\theta$$

定义 7.3 设 $L$ 是平面或空间中的光滑曲线，$f(x,y)$（或 $f(x,y,z)$）在 $L$ 上有定义。将 $L$ 分割为 $n$ 个小弧段，长为 $\Delta s_i$，任取 $(\xi_i,\eta_i) \in \Delta s_i$，若极限 $$\int_L f(x,y)ds = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i)\Delta s_i$$ 存在，则称此极限为第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）。

几何与物理意义

• 曲线型构件的质量：若 $f$ 为线密度，则积分表示质量
• 柱面面积：以 $L$ 为准线、以 $z=f(x,y)$ 为高的柱面侧面积
• 重心与转动惯量：一维连续分布物体的物理量计算

计算方法 若曲线 $L$ 的参数方程为 $x=\varphi(t), y=\psi(t), \alpha \leq t \leq \beta$，则 $$\int_L f(x,y)ds = \int_\alpha^\beta f(\varphi(t),\psi(t))\sqrt{\varphi'(t)^2 + \psi'(t)^2}\,dt$$

特殊情况：

• 显式方程 $y=y(x), a \leq x \leq b$：$ds = \sqrt{1+y'(x)^2}dx$
• 极坐标 $r=r(\theta), \alpha \leq \theta \leq \beta$：$ds = \sqrt{r^2+r'(\theta)^2}d\theta$

性质

1. 与曲线方向无关：$\int_{L^+} fds = \int_{L^-} fds$
2. 可加性：分段光滑曲线可分段计算

定义 7.4 设 $L$ 是定向光滑曲线，起点 $A$，终点 $B$。$P(x,y), Q(x,y)$ 在 $L$ 上有定义。将 $L$ 分割，设分点为 $M_i(x_i,y_i)$，记 $\Delta x_i = x_i - x_{i-1}, \Delta y_i = y_i - y_{i-1}$，若极限 $$\int_L Pdx + Qdy = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n [P(\xi_i,\eta_i)\Delta x_i + Q(\xi_i,\eta_i)\Delta y_i]$$ 存在，则称此极限为第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）。

物理意义

• 变力做功：质点沿曲线 $L$ 运动时，力场 $\vec{F} = (P,Q)$ 所做的功

$$W = \int_L \vec{F} \cdot d\vec{r} = \int_L Pdx + Qdy$$

计算方法 若 $L$ 的参数方程为 $x=\varphi(t), y=\psi(t)$，$t$ 从 $\alpha$ 到 $\beta$（对应起点到终点），则 $$\int_L Pdx + Qdy = \int_\alpha^\beta [P(\varphi(t),\psi(t))\varphi'(t) + Q(\varphi(t),\psi(t))\psi'(t)]dt$$

性质

1. 方向性：$\int_{L^-} Pdx + Qdy = -\int_{L^+} Pdx + Qdy$
2. 可化为第一类：$\int_L Pdx + Qdy = \int_L (P\cos\alpha + Q\cos\beta)ds$，其中 $(\cos\alpha,\cos\beta)$ 为切向方向余弦

两类曲线积分的关系 $$\int_L Pdx + Qdy = \int_L \vec{F} \cdot \vec{\tau}\,ds$$ 其中 $\vec{\tau} = (\cos\alpha, \cos\beta)$ 为单位切向量。

定理 7.0 设 $D$ 是单连通区域，$P,Q$ 在 $D$ 上有连续偏导数，则以下命题等价：

1. (1) 积分 $\int_L Pdx+Qdy$ 在 $D$ 内与路径无关
2. (2) 沿 $D$ 内任意闭曲线 $C$，$\oint_C Pdx+Qdy = 0$
3. (3) $\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$ 在 $D$ 内处处成立
4. (4) 存在函数 $u(x,y)$ 使得 $du = Pdx + Qdy$（即 $Pdx+Qdy$ 是全微分）

原函数求解 若条件满足，原函数可通过路径积分求得： $$u(x,y) = \int_{(x_0,y_0)}^{(x,y)} Pdx + Qdy = \int_{x_0}^x P(t,y_0)dt + \int_{y_0}^y Q(x,t)dt$$

定义 7.5 设 $\Sigma$ 是光滑曲面，$f(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上有定义。将 $\Sigma$ 分割为 $n$ 个小曲面片 $\Delta S_i$，面积为 $\Delta S_i$，任取 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i) \in \Delta S_i$，若极限 $$\iint_\Sigma f(x,y,z)dS = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i, \zeta_i)\Delta S_i$$ 存在，则称此极限为第一类曲面积分（对面积的曲面积分）。

物理意义

• 曲面型构件的质量：面密度为 $f$ 的曲面薄片质量
• 通量计算的中间步骤、曲面重心等

计算方法 若曲面 $\Sigma: z=z(x,y), (x,y) \in D_{xy}$，则面积元素 $$dS = \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2}dxdy$$ $$\iint_\Sigma f(x,y,z)dS = \iint_{D_{xy}} f(x,y,z(x,y))\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}dxdy$

对于参数方程 $\vec{r}(u,v) = (x(u,v), y(u,v), z(u,v))$，有 $$dS = |\vec{r}_u \times \vec{r}_v|\,dudv$$

性质

1. 与曲面侧的选择无关
2. 可加性：分片光滑曲面可分解计算

定义 7.6 设 $\Sigma$ 是定向光滑曲面，选定一侧（法向量 $\vec{n}$）。$P,Q,R$ 在 $\Sigma$ 上有定义。将 $\Sigma$ 投影到坐标面，若极限 $$\iint_\Sigma Pdy dz + Qdz dx + Rdx dy = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n [P_i(\Delta S_i)_{yz} + Q_i(\Delta S_i)_{zx} + R_i(\Delta S_i)_{xy}]$$ 存在，则称此极限为第二类曲面积分。

物理意义

• 流量（通量）：流速场 $\vec{v} = (P,Q,R)$ 单位时间内穿过曲面 $\Sigma$ 指定侧的流量

$$\Phi = \iint_\Sigma \vec{v} \cdot d\vec{S} = \iint_\Sigma Pdy dz + Qdz dx + Rdx dy$$

计算方法

• 投影法：若 $\Sigma: z=z(x,y)$，上侧取正，则

$$\iint_\Sigma Rdxdy = \pm\iint_{D_{xy}} R(x,y,z(x,y))dxdy$$ （上侧取 $+$，下侧取 $-$）

• 合一投影法：利用方向余弦统一投影到一个坐标面

$$\iint_\Sigma Pdy dz + Qdz dx + Rdx dy = \iint_\Sigma (P\cos\alpha + Q\cos\beta + R\cos\gamma)dS$$

两类曲面积分的关系 $$\iint_\Sigma Pdy dz + Qdz dx + Rdx dy = \iint_\Sigma \vec{F} \cdot \vec{n}\,dS = \iint_\Sigma \vec{F} \cdot d\vec{S}$$ 其中 $\vec{n} = (\cos\alpha, \cos\beta, \cos\gamma)$ 为单位法向量。

定理 7.1 (Green公式) 设 $D$ 是平面有界闭区域，边界 $\partial D$ 是分段光滑的简单闭曲线，取正向（沿边界行走时区域始终在左侧，即逆时针方向）。若 $P(x,y), Q(x,y)$ 在 $D$ 上有连续偏导数，则： $$\oint_{\partial D} Pdx + Qdy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$

等价形式

• 通量形式：$\oint_{\partial D} (P,Q) \cdot \vec{n}\,ds = \iint_D \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)dxdy$

（其中 $\vec{n}$ 为外法向量，左端表示向量场穿过边界的通量）

• 面积计算：取 $P=-y, Q=x$ 或 $P=0, Q=x$ 或 $P=-y, Q=0$，得

$$\sigma(D) = \frac{1}{2}\oint_{\partial D} xdy - ydx = \oint_{\partial D} xdy = -\oint_{\partial D} ydx$$

应用

1. 将闭曲线积分转化为二重积分，简化计算
2. 计算平面区域面积
3. 证明曲线积分与路径无关的条件

定理 7.2 (Gauss公式/散度定理/Ostrogradsky公式) 设 $\Omega$ 是空间有界闭区域，边界 $\partial\Omega$ 是分片光滑的闭曲面，取外侧。若 $P, Q, R$ 在 $\Omega$ 上有连续偏导数，则： $$\iint_{\partial\Omega} Pdy dz + Qdz dx + Rdx dy = \iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right)dv$$

向量形式 设 $\vec{F} = (P,Q,R)$，则 $$\iint_{\partial\Omega} \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_\Omega \nabla \cdot \vec{F}\,dv = \iiint_\Omega \text{div}\,\vec{F}\,dv$$

其中 $\text{div}\,\vec{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}$ 称为向量场 $\vec{F}$ 的散度（divergence）。

物理意义 向量场穿过闭曲面的总通量等于其散度在曲面所围区域上的积分，反映了“源”的分布。

推论

1. 体积计算：取 $\vec{F} = (x,y,z)$，则 $\text{div}\,\vec{F} = 3$，故

$$V(\Omega) = \frac{1}{3}\iint_{\partial\Omega} xdy dz + ydz dx + zdx dy$$

定理 7.3 (Stokes公式) 设 $\Sigma$ 是光滑定向曲面，边界 $\partial\Sigma$ 是分段光滑的简单闭曲线，方向与 $\Sigma$ 的定向成右手系（右手四指沿边界方向，拇指指向曲面法向）。若 $P, Q, R$ 在包含 $\Sigma$ 的某区域上有连续偏导数，则： $$\oint_{\partial\Sigma} Pdx + Qdy + Rdz = \iint_\Sigma \left|\begin{matrix} dy dz & dz dx & dx dy \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{matrix}\right|$$

展开即： $$= \iint_\Sigma \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}\right)dydz + \left(\frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}\right)dzdx + \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$

向量形式 设 $\vec{F} = (P,Q,R)$，则 $$\oint_{\partial\Sigma} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_\Sigma (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S} = \iint_\Sigma \text{rot}\,\vec{F} \cdot d\vec{S}$$

其中 $\text{rot}\,\vec{F} = \nabla \times \vec{F}$ 称为向量场 $\vec{F}$ 的旋度（rotation/curl）： $$\text{rot}\,\vec{F} = \left(\frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)$$

物理意义 向量场沿闭曲线的环量等于其旋度穿过以该曲线为边界的任一曲面的通量，反映了场的“旋转”特性。

特例：平面Stokes公式 当 $\Sigma$ 在 $xy$ 平面上时，退化为Green公式。

统一观点：都是广义Stokes定理的特例，表述为“外微分在区域上的积分等于原形式在边界上的积分”。

梯度场 数量场 $u(x,y,z)$ 的梯度： $$\text{grad}\,u = \nabla u = \left(\frac{\partial u}{\partial x}, \frac{\partial u}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial z}\right)$$ 方向：$u$ 增长最快的方向；模：最大增长率。

保守场 若向量场 $\vec{F}$ 是某数量场的梯度，即 $\vec{F} = \nabla u$，则称 $\vec{F}$ 为保守场（或有势场），$u$ 称为势函数。

等价条件（单连通区域）：

1. $\nabla \times \vec{F} = \vec{0}$（无旋场）
2. 积分与路径无关
3. 沿任意闭曲线积分为零

无源场 若 $\nabla \cdot \vec{F} = 0$，称 $\vec{F}$ 为无源场（solenoidal field）。 性质：穿过任意闭曲面的通量为零；存在向量势 $\vec{A}$ 使得 $\vec{F} = \nabla \times \vec{A}$。

调和场 既无旋又无源的场：$\nabla \times \vec{F} = \vec{0}$ 且 $\nabla \cdot \vec{F} = 0$。 势函数满足Laplace方程：$\nabla^2 u = 0$。

重积分

1. 计算二重积分 $\iint_D (x+y)dxdy$，其中 $D = \{(x,y): x^2 + y^2 \leq 1\}$。

2. 计算 $\iint_D e^{x^2+y^2}dxdy$，其中 $D$ 为圆环 $1 \leq x^2+y^2 \leq 4$。

3. 改变积分次序：$\int_0^1 dx \int_{x^2}^x f(x,y)dy$。

4. 计算三重积分 $\iiint_\Omega z\,dv$，其中 $\Omega$ 由 $z = \sqrt{x^2+y^2}$ 与 $z=1$ 围成。 5. 求球体 $x^2+y^2+z^2 \leq R^2$ 与 $x^2+y^2+z^2 \leq 2Rz$ 的公共部分体积。

曲线积分

6. 计算 $\int_L (x+y)ds$，其中 $L$ 为连接 $(1,0)$ 与 $(0,1)$ 的直线段。

7. 计算 $\oint_L x^2 ds$，其中 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=a^2$。

8. 计算 $\int_L (x^2-y)dx + (y^2+x)dy$，其中 $L$ 为从 $(0,0)$ 沿 $y=x^2$ 到 $(1,1)$ 的弧段。

9. 验证 $(2xy+1)dx + (x^2+3y^2)dy$ 是否为全微分，若是，求原函数。

10. 利用Green公式计算 $\oint_C xydx + x^2dy$，其中 $C$ 是以原点为中心、半径为2的圆周。

曲面积分

11. 计算 $\iint_\Sigma (x+y+z)dS$，其中 $\Sigma$ 为上半球面 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$。

12. 计算 $\iint_\Sigma x^2dydz + y^2dzdx + z^2dxdy$，其中 $\Sigma$ 为立方体 $[0,a]^3$ 表面的外侧。

13. 利用Gauss公式计算 $\iint_\Sigma x^3dy dz + y^3dz dx + z^3dx dy$，其中 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的外侧。

14. 利用Stokes公式计算 $\oint_\Gamma (y-z)dx + (z-x)dy + (x-y)dz$，其中 $\Gamma$ 为椭圆 $x^2+y^2=a^2, \frac{x}{a}+\frac{z}{b}=1$（从 $x$ 轴正向看逆时针方向）。

综合应用

15. 证明：若 $f(u)$ 连续，$L$ 为分段光滑闭曲线，则 $\oint_L f(x^2+y^2)(xdx+ydy) = 0$。

16. 设 $\Sigma$ 是光滑闭曲面，$\vec{n}$ 为外法向量，$\vec{r}=(x,y,z)$，$r=|\vec{r}|$，计算 $\iint_\Sigma \frac{\cos(\vec{r},\vec{n})}{r^2}dS$，其中原点在 $\Sigma$ 外。

17. 验证向量场 $\vec{F} = (yz, zx, xy)$ 是保守场，并求势函数。