定义 7.1 设 $D$ 是 $\mathbb{R}^2$ 中的有界闭区域，$f(x,y)$ 是 $D$ 上的有界函数。将 $D$ 分割为 $n$ 个小区域 $\Delta\sigma_i$，在每个小区域上任取一点 $(\xi_i, \eta_i)$，若极限 $$\iint_D f(x,y)d\sigma = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i)\Delta\sigma_i$$ 存在（与分割方式和取点方式无关），则称此极限为 $f$ 在 $D$ 上的二重积分。

定义 7.2 类似地，对于空间区域 $\Omega$ 上的函数 $f(x,y,z)$，定义三重积分： $$\iiint_\Omega f(x,y,z)dv$$

定义 7.3 设 $L$ 是光滑曲线，$f(x,y)$ 在 $L$ 上有定义，则第一类曲线积分（对弧长的积分）为： $$\int_L f(x,y)ds = \lim_{\lambda \to 0} \sum_{i=1}^n f(\xi_i, \eta_i)\Delta s_i$$

定义 7.4 设 $L$ 是定向光滑曲线，$P(x,y), Q(x,y)$ 在 $L$ 上有定义，则第二类曲线积分（对坐标的积分）为： $$\int_L Pdx + Qdy$$

定义 7.5 设 $\Sigma$ 是光滑曲面，$f(x,y,z)$ 在 $\Sigma$ 上有定义，则第一类曲面积分（对面积的积分）为： $$\iint_\Sigma f(x,y,z)dS$$

定义 7.6 设 $\Sigma$ 是定向光滑曲面，则第二类曲面积分为： $$\iint_\Sigma Pdy dz + Qdz dx + Rdx dy$$

定理 7.1 (Green公式) 设 $D$ 是平面有界闭区域，边界 $\partial D$ 是分段光滑的简单闭曲线，取正向（逆时针方向）。若 $P(x,y), Q(x,y)$ 在 $D$ 上有连续偏导数，则： $$\oint_{\partial D} Pdx + Qdy = \iint_D \left(\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}\right)dxdy$$

定理 7.2 (Gauss公式/散度定理) 设 $\Omega$ 是空间有界闭区域，边界 $\partial\Omega$ 是光滑闭曲面，取外侧。若 $P, Q, R$ 在 $\Omega$ 上有连续偏导数，则： $$\iint_{\partial\Omega} Pdy dz + Qdz dx + Rdx dy = \iiint_\Omega \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z}\right)dv$$

定理 7.3 (Stokes公式) 设 $\Sigma$ 是光滑定向曲面，边界 $\partial\Sigma$ 是分段光滑的简单闭曲线，方向与 $\Sigma$ 的定向成右手系。若 $P, Q, R$ 在包含 $\Sigma$ 的某区域上有连续偏导数，则： $$\oint_{\partial\Sigma} Pdx + Qdy + Rdz = \iint_\Sigma \left|\begin{matrix} dy dz & dz dx & dx dy \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{matrix}\right|$$

1. 计算二重积分 $\iint_D (x+y)dxdy$，其中 $D = \{(x,y): x^2 + y^2 \leq 1\}$。 2. 利用Green公式计算 $\oint_C xydx + x^2dy$，其中 $C$ 是以原点为中心、半径为2的圆周。 3. 利用Gauss公式计算 $\iint_\Sigma x^3dy dz + y^3dz dx + z^3dx dy$，其中 $\Sigma$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 的外侧。