适用于函数在该点连续的情形。

若 $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续，则： $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$

常见连续函数：多项式、指数函数、对数函数、三角函数在其定义域内连续。

适用于 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型未定式。

若 $\lim_{x\to a} f(x)=0,\ \lim_{x\to a} g(x)=0$， 且 $f'(x),g'(x)$ 存在，$g'(x)\ne 0$，则： $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

注意：使用前必须先判断是否为未定式。

适用于含有三角函数、指数函数、对数函数等复杂表达式的极限。

当 $x\to 0$ 时：

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$

$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots+(-1)^m\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}+o(x^{2m+1})$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots+(-1)^m\frac{x^{2m}}{(2m)!}+o(x^{2m})$

$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$

使用原则：展开到第一个不为零的项。

适用于目标函数被两个极限相同的函数夹住。

若 $g(x)\le f(x)\le h(x)$， 且 $\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=A$， 则 $\lim_{x\to a}f(x)=A$

常见形式：

$|\sin x|\le |x|$

$-1\le \sin\frac{1}{x}\le 1$

$0\le x^2\sin\frac{1}{x}\le x^2$

适用于函数差、导数、单调性相关的极限。

拉格朗日中值定理：

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导， 则存在 $\xi\in(a,b)$，使得： $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$

常用形式：

$f(x)-f(a)=f'(\xi)(x-a)$

柯西中值定理：

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} =\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

适用于乘除结构中的极限。

当 $x\to 0$ 时，常用等价无穷小：

$\sin x\sim x$

$\tan x\sim x$

$\arcsin x\sim x$

$\arctan x\sim x$

$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$

$e^x-1\sim x$

$\ln(1+x)\sim x$

$(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x$

注意：

• 只能在乘除结构中直接替换
• 加减结构中慎用，容易出错

适用于证明型题目。

数列极限定义：

$\lim_{n\to\infty}a_n=A$ 表示：对任意 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N$， 当 $n>N$ 时，有 $|a_n-A|<\varepsilon$

函数极限定义：

$\lim_{x\to a}f(x)=A$ 表示：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$， 当 $0<|x-a|<\delta$ 时，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$

无穷远处极限：

$\lim_{x\to\infty}f(x)=A$ 表示：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M>0$， 当 $x>M$ 时，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$

• 常数：$(C)'=0$

• 幂函数：$(x^a)'=ax^{a-1}$

• 指数函数：$(a^x)'=a^x\ln a$

• 特别地：$(e^x)'=e^x$

• 对数函数：$(\ln x)'=\frac{1}{x}$

• 一般对数：$(\log_a x)'=\frac{1}{x\ln a}$

$(u\pm v)'=u'\pm v'$

$(Cu)'=Cu'$

$(uv)'=u'v+uv'$

$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

其中 $v\ne 0$。

若 $y=f(g(x))$，则：

$\frac{dy}{dx}=f'(g(x))g'(x)$

也可以写成：

$(y)'=f'(u)u'$

其中 $u=g(x)$。

常见形式：

$[f(u)]'=f'(u)u'$

例如：

$(\sin u)'=\cos u\cdot u'$

$(e^u)'=e^u\cdot u'$

$(\ln u)'=\frac{u'}{u}$

$(u^a)'=au^{a-1}u'$

$(\sin x)'=\cos x$

$(\cos x)'=-\sin x$

$(\tan x)'=\sec^2 x$

$(\cot x)'=-\csc^2 x$

$(\sec x)'=\sec x\tan x$

$(\csc x)'=-\csc x\cot x$

复合函数形式：

$(\sin u)'=\cos u\cdot u'$

$(\cos u)'=-\sin u\cdot u'$

$(\tan u)'=\sec^2u\cdot u'$

$(\arcsin x)'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\arccos x)'=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$

$(\arctan x)'=\frac{1}{1+x^2}$

$(\operatorname{arccot} x)'=-\frac{1}{1+x^2}$

复合函数形式：

$(\arcsin u)'=\frac{u'}{\sqrt{1-u^2}}$

$(\arctan u)'=\frac{u'}{1+u^2}$

当 $x$ 和 $y$ 满足方程：

$F(x,y)=0$

且 $y$ 是 $x$ 的函数时，对等式两边同时对 $x$ 求导。

注意：

$\frac{d}{dx}y=y'$

$\frac{d}{dx}y^2=2yy'$

$\frac{d}{dx}\sin y=\cos y\cdot y'$

例如：

$x^2+y^2=1$

两边求导：

$2x+2yy'=0$

所以：

$y'=-\frac{x}{y}$

适用于幂指数复杂的函数，例如：

$y=u(x)^{v(x)}$

两边取自然对数：

$\ln y=v(x)\ln u(x)$

再两边求导：

$\frac{y'}{y}=v'\ln u+v\frac{u'}{u}$

所以：

$y'=u^v\left(v'\ln u+v\frac{u'}{u}\right)$

即：

$[u(x)^{v(x)}]'= u(x)^{v(x)} \left[ v'(x)\ln u(x)+v(x)\frac{u'(x)}{u(x)} \right]$

若：

$y=a^{u(x)}$

则：

$y'=a^{u(x)}\ln a\cdot u'(x)$

特别地：

$(e^{u(x)})'=e^{u(x)}u'(x)$

若：

$y=u(x)^{v(x)}$

也可改写为：

$y=e^{v(x)\ln u(x)}$

因此：

$y'=e^{v\ln u}\cdot (v\ln u)'$

即：

$y'=u^v\left(v'\ln u+v\frac{u'}{u}\right)$

$(\ln |u|)'=\frac{u'}{u}$

$(e^u)'=e^u u'$

$(a^u)'=a^u\ln a\cdot u'$

$(u^a)'=au^{a-1}u'$

$(\sqrt{u})'=\frac{u'}{2\sqrt{u}}$

$\left(\frac{1}{u}\right)'=-\frac{u'}{u^2}$

• 看到乘积，用积法则：$(uv)'=u'v+uv'$

• 看到分式，用商法则：

$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$

• 看到套娃函数，用链式法则：$[f(u)]'=f'(u)u'$

• 看到 $y$ 和 $x$ 混在一起，用隐式微分。

• 看到 $x^x$、$(\sin x)^x$、$x^{\sin x}$，用对数求导法。