适用于函数在该点连续的情形。

若 $f(x)$ 在 $x=a$ 处连续，则： $\lim_{x\to a} f(x)=f(a)$

常见连续函数：多项式、指数函数、对数函数、三角函数在其定义域内连续。

适用于 $0/0$ 或 $\infty/\infty$ 型未定式。

若 $\lim_{x\to a} f(x)=0,\ \lim_{x\to a} g(x)=0$， 且 $f'(x),g'(x)$ 存在，$g'(x)\ne 0$，则： $\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

注意：使用前必须先判断是否为未定式。

适用于含有三角函数、指数函数、对数函数等复杂表达式的极限。

当 $x\to 0$ 时：

$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o(x^n)$

$\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\cdots+(-1)^{n-1}\frac{x^n}{n}+o(x^n)$

$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots+(-1)^m\frac{x^{2m+1}}{(2m+1)!}+o(x^{2m+1})$

$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots+(-1)^m\frac{x^{2m}}{(2m)!}+o(x^{2m})$

$(1+x)^\alpha=1+\alpha x+\frac{\alpha(\alpha-1)}{2!}x^2+\frac{\alpha(\alpha-1)(\alpha-2)}{3!}x^3+\cdots+\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n+o(x^n)$

使用原则：展开到第一个不为零的项。

适用于目标函数被两个极限相同的函数夹住。

若 $g(x)\le f(x)\le h(x)$， 且 $\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)=A$， 则 $\lim_{x\to a}f(x)=A$

常见形式：

$|\sin x|\le |x|$

$-1\le \sin\frac{1}{x}\le 1$

$0\le x^2\sin\frac{1}{x}\le x^2$

适用于函数差、导数、单调性相关的极限。

拉格朗日中值定理：

若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 连续，在 $(a,b)$ 可导， 则存在 $\xi\in(a,b)$，使得： $f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$

常用形式：

$f(x)-f(a)=f'(\xi)(x-a)$

柯西中值定理：

$\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} =\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

适用于乘除结构中的极限。

当 $x\to 0$ 时，常用等价无穷小：

$\sin x\sim x$

$\tan x\sim x$

$\arcsin x\sim x$

$\arctan x\sim x$

$1-\cos x\sim \frac{x^2}{2}$

$e^x-1\sim x$

$\ln(1+x)\sim x$

$(1+x)^\alpha-1\sim \alpha x$

注意：

• 只能在乘除结构中直接替换
• 加减结构中慎用，容易出错

适用于证明型题目。

数列极限定义：

$\lim_{n\to\infty}a_n=A$ 表示：对任意 $\varepsilon>0$，存在正整数 $N$， 当 $n>N$ 时，有 $|a_n-A|<\varepsilon$

函数极限定义：

$\lim_{x\to a}f(x)=A$ 表示：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $\delta>0$， 当 $0<|x-a|<\delta$ 时，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$

无穷远处极限：

$\lim_{x\to\infty}f(x)=A$ 表示：对任意 $\varepsilon>0$，存在 $M>0$， 当 $x>M$ 时，有 $|f(x)-A|<\varepsilon$