面积分 (Surface Integrals)
曲面积分是将平面上的二重积分推广到空间中的弯曲曲面上。根据被积函数是标量还是向量，曲面积分分为两类。
1. 曲面的参数化 (Parametric Surfaces)
在计算面积分之前，必须掌握如何用参数方程描述曲面 $S$。 若曲面由向量函数 $\mathbf{r}(u, v)$ 定义，其中 $(u, v)$ 在平面区域 $D$ 上变化： $$ \mathbf{r}(u, v) = x(u,v)\mathbf{i} + y(u,v)\mathbf{j} + z(u,v)\mathbf{k} $$
切向量与法向量：
- $u$-偏导向量：$\mathbf{r}_u = \frac{\partial x}{\partial u}\mathbf{i} + \frac{\partial y}{\partial u}\mathbf{j} + \frac{\partial z}{\partial u}\mathbf{k}$
- $v$-偏导向量：$\mathbf{r}_v = \frac{\partial x}{\partial v}\mathbf{i} + \frac{\partial y}{\partial v}\mathbf{j} + \frac{\partial z}{\partial v}\mathbf{k}$
- 法向量 (Normal Vector)：$\mathbf{N} = \mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$ （垂直于曲面的向量）
2. 第一类曲面积分 (Scalar Surface Integrals)
定义：是对标量函数 $f(x,y,z)$ 在曲面 $S$ 上的积分。 $$ \iint_S f(x,y,z) \, dS $$ 其中 $dS$ 是面积微元。
物理意义：
- 若 $f(x,y,z)$ 表示曲面的面密度，则积分为曲面的总质量。
- 若 $f(x,y,z) = 1$，则积分为曲面 $S$ 的表面积。
2.1 计算公式
情形 A：参数方程形式 利用公式 $dS = |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| \, du \, dv$： $$ \iint_S f(x,y,z) \, dS = \iint_D f(\mathbf{r}(u,v)) |\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v| \, du \, dv $$
情形 B：显函数形式 (Graph of a function) 若曲面由 $z = g(x,y)$ 给出，投影区域为 $D$。 此时参数为 $x, y$，法向量模长简化为 $\sqrt{1 + (\frac{\partial z}{\partial x})^2 + (\frac{\partial z}{\partial y})^2}$。 $$ \iint_S f(x,y,z) \, dS = \iint_D f(x, y, g(x,y)) \sqrt{1 + \left(\frac{\partial z}{\partial x}\right)^2 + \left(\frac{\partial z}{\partial y}\right)^2} \, dA $$
3. 第二类曲面积分 (Vector Surface Integrals / Flux)
定义：是对向量场 $\mathbf{F}$ 在有向曲面 $S$ 上的积分，通常称为通量 (Flux)。 $$ \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_S \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, dS $$
- $\mathbf{n}$ 是单位法向量。
- $d\mathbf{S} = \mathbf{n} \, dS$ 是向量面积微元。
物理意义： 表示单位时间内流过曲面 $S$ 的流体体积（若 $\mathbf{F}$ 为速度场）或穿过曲面的磁通量/电通量。
方向性 (Orientation)： 必须指定曲面的侧（如“上侧/下侧”或“外侧/内侧”）。方向改变，积分符号改变。
3.1 计算公式
情形 A：参数方程形式 $$ \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_D \mathbf{F}(\mathbf{r}(u,v)) \cdot (\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v) \, du \, dv $$ 注意：需检查 $\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v$ 的方向是否与题目要求的方向一致，若相反则需加负号。
情形 B：显函数形式 $z = g(x,y)$ 设 $\mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} + R\mathbf{k}$。 若取上侧（$\mathbf{k}$ 分量为正），则法向量指向 $(-\frac{\partial z}{\partial x}, -\frac{\partial z}{\partial y}, 1)$： $$ \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_D \left( -P \frac{\partial z}{\partial x} - Q \frac{\partial z}{\partial y} + R \right) \, dA $$ 若取下侧，则全式变号。
4. 两类曲面积分的联系
第二类曲面积分可以转化为第一类曲面积分计算： $$ \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iint_S (\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}) \, dS $$ 即：先求出向量场在法线方向的分量 $\mathbf{F} \cdot \mathbf{n}$（这是一个标量），然后按第一类曲面积分计算。
5. 常用曲面参数化示例
| 曲面类型 | 参数方程 $\mathbf{r}(u,v)$ | 范围 | 面积微元系数 $|\mathbf{r}_u \times \mathbf{r}_v|$ |
|---|---|---|---|
| 球面 (半径 $a$) | $x=a\sin\phi\cos\theta$ $y=a\sin\phi\sin\theta$ $z=a\cos\phi$ | $0 \le \phi \le \pi$ $0 \le \theta \le 2\pi$ | $a^2 \sin\phi$ |
| 圆柱面 (半径 $a$) | $x=a\cos\theta$ $y=a\sin\theta$ $z=z$ | $0 \le \theta \le 2\pi$ $z \in [h_1, h_2]$ | $a$ |
| 函数图像 $z=g(x,y)$ | $x=x, y=y, z=g(x,y)$ | $(x,y) \in D$ | $\sqrt{1 + g_x^2 + g_y^2}$ |
6. 相关定理
- 斯托克斯定理 (Stokes' Theorem)：
将曲面 $S$ 上的旋度通量转化为边界曲线 $C$ 上的线积分。 $$ \iint_S (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} = \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} $$
- 散度定理 (Divergence Theorem)：
将闭曲面 $S$ 上的通量转化为内部体积 $E$ 上的散度积分。 $$ \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \nabla \cdot \mathbf{F} \, dV $$
张叶安