设 $a$ 是定义域 $X$ 的聚点。$\lim_{x \to a} f(x) = A$ 定义为： $$ \forall V = N(A), \exists U = N^*(a) \text{ (去心邻域)}, \forall x \in X \cap U, \text{有 } f(x) \in V $$ 此定义涵盖了 $x \to x_0$, $x \to \infty$, 左右极限等所有情况。

$\lim_{x \to a} f(x)$ 存在 $\iff$ 对任意 $x_n \to a (x_n \neq a)$，数列 $f(x_n)$ 都有同一极限。 *(连接了函数极限与数列极限)*

函数极限具备唯一性、局部有界性、保号性、四则运算规则、夹逼原理等，与数列极限类似。

$\lim_{x \to a} f(x)$ 存在的充要条件： $$ \lim_{x, y \to a} |f(x) - f(y)| = 0 $$

若 $f(x) \to A (x \to a, x \neq a \implies f(x) \neq A)$ 且 $\varphi(y) \to l (y \to A)$，则： $$ \lim_{x \to a} \varphi(f(x)) = l $$

1. 1. 幂指函数极限：

$$ \lim_{x \to \infty} (1 + 1/x)^x = e, \quad \lim_{x \to 0} (1+x)^{1/x} = e $$

1. 2. 三角函数极限：

$$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $$

考察 $\lim_{x \to a, y \to b} f(x, y)$ 与 $\lim_{x \to a} \lim_{y \to b} f(x, y)$ 的关系。 定理：若逐次极限函数 $\varphi(x) = \lim_{y \to b} f(x, y)$ 存在，且二重极限存在，则二者相等。 *(注：二重极限存在要求更高，沿任意路径趋近都相等)*

• 无穷小量：若 $\lim u = 0$。
• 无穷大量：若 $\lim |u| = \infty$。

设在同一极限过程中：

• 高阶无穷小 ($o$)：$u = o(v) \iff \lim u/v = 0$。
• 同阶无穷小 ($O^*$)：$u = O^*(v) \iff 0 < \lim |u/v| < \infty$。
• 有界量 ($O$)：$u = O(v) \iff \varlimsup |u/v| < \infty$。
• 等价无穷小 ($\sim$)：$u \sim v \iff \lim u/v = 1$。

运算规则：

• $o(o(w)) = o(w)$
• $o(v) \cdot O(w) = o(vw)$
• $u \sim v \iff u - v = o(v)$
• 等价替换：若 $u \sim v$，求极限时因子 $u$ 可替换为 $v$。

• $(1+x)^\alpha - 1 \sim \alpha x$
• $\sin x \sim x$
• $\ln(1+x) \sim x$
• $e^x - 1 \sim x$
• $1 - \cos x \sim \frac{1}{2}x^2$