介值定理是连续函数在闭区间上整体性质的体现，它依赖于实数的完备性。

定理（介值定理）： 设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(a) \neq f(b)$。 若 $\mu$ 是介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间的任意实数，则在开区间 $(a, b)$ 内至少存在一点 $\xi$，使得： $$ f(\xi) = \mu $$

为了证明介值定理，我们通常先证明其特例：零点定理，然后通过平移变换推广到一般情况。

命题：若 $f(x) \in C[a, b]$ 且 $f(a) \cdot f(b) < 0$（即端点异号），则 $\exists \xi \in (a, b)$ 使得 $f(\xi) = 0$。

证明（二分法/区间套法）： 不妨设 $f(a) < 0 < f(b)$。

1. 取中点 $c_1 = \frac{a+b}{2}$。
2. 若 $f(c_1) = 0$，则 $\xi = c_1$，证明结束。
3. 若 $f(c_1) \neq 0$，则在 $[a, c_1]$ 和 $[c_1, b]$ 中选择一个端点异号的区间，记为 $[a_1, b_1]$。
4. 重复此过程，得到一串闭区间序列 $[a_n, b_n]$，满足：
   • $[a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n]$
   • $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n}$
   • $f(a_n) < 0 < f(b_n)$
5. 根据闭区间套定理，存在唯一公共点 $\xi = \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} b_n$。
6. 由 $f(x)$ 的连续性：
   • $\lim_{n \to \infty} f(a_n) = f(\xi) \le 0$
   • $\lim_{n \to \infty} f(b_n) = f(\xi) \ge 0$
7. 故 $f(\xi) = 0$。 证毕。

证明： 令辅助函数 $\varphi(x) = f(x) - \mu$。 因为 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，且 $\mu$ 是常数，故 $\varphi(x)$ 也在 $[a, b]$ 上连续。 由于 $\mu$ 介于 $f(a)$ 和 $f(b)$ 之间，不妨设 $f(a) < \mu < f(b)$，则：

• $\varphi(a) = f(a) - \mu < 0$
• $\varphi(b) = f(b) - \mu > 0$

即 $\varphi(a) \cdot \varphi(b) < 0$。 根据零点定理，$\exists \xi \in (a, b)$ 使得 $\varphi(\xi) = 0$，即 $f(\xi) - \mu = 0$。 故 $f(\xi) = \mu$。 证毕。

这一部分的逻辑链条是：费马引理 $\to$ 罗尔定理 $\to$ 拉格朗日定理 $\to$ 柯西定理。

定理：设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，且在 $x_0$ 处取得极值，则 $f'(x_0) = 0$。

证明： 不妨设 $x_0$ 为极大值点。则对于 $x_0$ 邻域内的 $x$，有 $f(x) \le f(x_0)$。 根据导数的定义： $$ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} $$ 考虑左极限（$x \to x_0^-$，即 $x < x_0$）： $$ \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \ge 0 \implies f'_-(x_0) \ge 0 $$ 考虑右极限（$x \to x_0^+$，即 $x > x_0$）： $$ \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \le 0 \implies f'_+(x_0) \le 0 $$ 因为 $f(x)$ 在 $x_0$ 可导，故左右导数相等且存在，即 $f'_-(x_0) = f'_+(x_0) = f'(x_0)$。 这就要求 $f'(x_0)$ 既 $\ge 0$ 又 $\le 0$，故唯一可能是 $f'(x_0) = 0$。 证毕。

定理：若 $f(x)$ 满足：(1) $[a, b]$ 连续；(2) $(a, b)$ 可导；(3) $f(a)=f(b)$。则 $\exists \xi \in (a, b), f'(\xi)=0$。

证明： 由闭区间连续函数的最大最小值定理，$f(x)$ 在 $[a, b]$ 上必有最大值 $M$ 和最小值 $m$。

• 情形 1：若 $M = m$，则 $f(x)$ 为常数函数，导数恒为 0，定理显然成立。
• 情形 2：若 $M > m$。由于 $f(a) = f(b)$，最大值 $M$ 和最小值 $m$ 中至少有一个是在开区间 $(a, b)$ 内部取得的。

设 $\xi \in (a, b)$ 是取得极值（例如最大值 $M$）的点。

由费马引理，必有 $f'(\xi) = 0$。 证毕。

定理：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，$(a, b)$ 可导，则 $\exists \xi \in (a, b)$，使得 $f(b)-f(a) = f'(\xi)(b-a)$。

证明（辅助函数法）： 我们的目标是利用罗尔定理。罗尔定理要求端点值相等。 构造辅助函数 $F(x)$，以此消除割线带来的“倾斜”。 连接 $(a, f(a))$ 和 $(b, f(b))$ 的直线方程（割线）为： $$ L(x) = f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a} (x - a) $$ 令 $F(x)$ 为曲线 $f(x)$ 与割线 $L(x)$ 的垂直距离（差值）： $$ F(x) = f(x) - L(x) = f(x) - \left[ f(a) + \frac{f(b) - f(a)}{b - a} (x - a) \right] $$ 验证罗尔定理条件：

1. $F(x)$ 在 $[a, b]$ 连续，$(a, b)$ 可导（由 $f(x)$ 性质决定）。

2. $F(a) = f(a) - f(a) = 0$。

3. $F(b) = f(b) - [f(a) + (f(b)-f(a))] = 0$。

故 $F(a) = F(b) = 0$。

由罗尔定理，$\exists \xi \in (a, b)$ 使得 $F'(\xi) = 0$。

对 $F(x)$ 求导： $$ F'(x) = f'(x) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$ 代入 $\xi$： $$ f'(\xi) - \frac{f(b) - f(a)}{b - a} = 0 \implies f'(\xi) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a} $$ 证毕。

定理：若 $f, g$ 在 $[a, b]$ 连续，$(a, b)$ 可导，且 $g'(x) \neq 0$，则 $\exists \xi \in (a, b)$，使得 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$。

证明： 首先，由拉格朗日定理，$g(b) - g(a) = g'(\eta)(b-a)$。因 $g'(x) \neq 0$，故 $g(b) \neq g(a)$，分母有意义。 构造辅助函数 $F(x)$。我们希望通过交叉相乘的形式来构造： $$ F(x) = [f(b) - f(a)] \cdot g(x) - [g(b) - g(a)] \cdot f(x) $$ 验证罗尔定理条件： 1. $F(x)$ 显然连续且可导。

2. 计算端点值： $$ F(a) = f(b)g(a) - f(a)g(a) - g(b)f(a) + g(a)f(a) = f(b)g(a) - g(b)f(a) $$ $$ F(b) = f(b)g(b) - f(a)g(b) - g(b)f(b) + g(a)f(b) = -f(a)g(b) + g(a)f(b) $$

可见 $F(a) = F(b)$。

由罗尔定理，$\exists \xi \in (a, b)$ 使得 $F'(\xi) = 0$。 $$ F'(x) = [f(b) - f(a)] g'(x) - [g(b) - g(a)] f'(x) $$ 令 $F'(\xi) = 0$： $$ [f(b) - f(a)] g'(\xi) = [g(b) - g(a)] f'(\xi) $$ 移项整理（因为 $g'(\xi) \neq 0$ 且 $g(b) \neq g(a)$）： $$ \frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)} = \frac{f'(\xi)}{g'(\xi)} $$ 证毕。

定理：若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，则 $\exists \xi \in [a, b]$，使得 $\int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b-a)$。

证明： 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最大值为 $M$，最小值为 $m$（由连续函数最值定理保证存在）。 即： $$ m \le f(x) \le M $$ 根据定积分的保号性（单调性），对不等式三边同时积分： $$ \int_a^b m \, dx \le \int_a^b f(x) \, dx \le \int_a^b M \, dx $$ 计算左右两边的积分： $$ m(b - a) \le \int_a^b f(x) \, dx \le M(b - a) $$ 同时除以 $(b - a)$： $$ m \le \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \, dx \le M $$ 令常数 $\mu = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \, dx$。 显然 $\mu$ 是一个介于最小值 $m$ 和最大值 $M$ 之间的实数。 根据介值定理，连续函数 $f(x)$ 必定能取到 $m$ 和 $M$ 之间的一切值。 因此，必定存在一点 $\xi \in [a, b]$，使得： $$ f(\xi) = \mu = \frac{1}{b - a} \int_a^b f(x) \, dx $$ 整理即得： $$ \int_a^b f(x) dx = f(\xi)(b-a) $$ 证毕。

为了帮助记忆，请参考以下逻辑图谱：