在极限计算中，直接代入往往会得到没有意义的形式，如 $0/0, \infty/\infty, 0 \cdot \infty, \infty - \infty, 1^\infty, 0^0, \infty^0$。这些统称为不定式。

这是处理不定式最直观的工具，但必须严格遵守使用条件。

定理： 若极限 $\lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ 满足以下条件：

1. 类型匹配：属于 $\frac{0}{0}$ 型或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型；
2. 可导性：$f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $a$ 的去心邻域内可导，且 $g'(x) \neq 0$；
3. 存在性：$\lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ 存在（或为无穷大）；

则有： $$ \lim_{x\to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$

警告：
1. 千万不要用商的求导法则！是分子求导除以分母求导。
2. 使用前必须验证是否为 $0/0$ 或 $\infty/\infty$。若 $\lim \frac{2}{0}$ 直接得 $\infty$，不可用洛必达。
3. 若一阶导数比值仍为不定式，可连续使用法则。

我们将不定式分为三组，逐步转化为基本型 ($0/0, \infty/\infty$) 求解。

例 1 (幂指型 $1^\infty$)：求 $\lim_{x \to 0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$

• 变形：原式 $= \lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln(1+x)}$
• 指数部分极限：$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x}$ 属于 $0/0$ 型。
• 洛必达：$\lim \frac{1/(1+x)}{1} = 1$。
• 结果：$e^1 = e$。

例 2 (差值型 $\infty - \infty$)：求 $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{e^x - 1})$

• 通分：$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x(e^x - 1)}$ (变为 $0/0$ 型)
• 代换：分母中 $e^x - 1 \sim x$，故分母等价于 $x^2$。
• 化简后洛必达：$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1 - x}{x^2} \xrightarrow{L'H} \lim \frac{e^x - 1}{2x} \xrightarrow{L'H} \lim \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}$。

当洛必达法则求导极其繁琐时（例如出现 $\sqrt{1+x^2}\sin x$ 等乘积），泰勒展开往往是“降维打击”。

核心思想：用多项式逼近复杂函数。 $$ f(x) = P_n(x) + o(x^n) $$

常用麦克劳林展开 ($x \to 0$)：

• $\sin x = x - \frac{x^3}{6} + o(x^3)$
• $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} + o(x^4)$
• $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$
• $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + o(x^3)$
• $(1+x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}x^2 + o(x^2)$

解题原则： “上下同阶”。如果分母是 $x^3$，分子通常也需要展开到 $x^3$ 项，以消除高阶无穷小。

黎曼积分要求：1. 积分区间有限 $[a, b]$；2. 被积函数有界。 打破这两个条件，就产生了反常积分（广义积分）。

积分区间为无穷大，如 $[a, +\infty)$。

定义： $$ \int_a^{+\infty} f(x) dx = \lim_{t \to +\infty} \int_a^t f(x) dx $$

• 若极限存在且为有限数，称积分收敛 (Convergent)。
• 若极限不存在或为 $\infty$，称积分发散 (Divergent)。

这是判断敛散性的标尺，务必熟记。

$$ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x^p} dx $$

• 当 $p > 1$ 时，收敛。
• 当 $p \le 1$ 时，发散。

直观理解：$x$ 趋于无穷大时，分母必须“增长得足够快”（$p>1$），函数曲线才能足够快地贴近 x 轴，使得下方的面积有限。

被积函数在区间内无界。使函数趋于无穷的点 $c$ 称为瑕点 (Singularity)。

定义： 设 $b$ 为瑕点（即 $\lim_{x \to b^-} f(x) = \infty$）： $$ \int_a^b f(x) dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f(x) dx $$

注意这里与无穷限积分的结论完全相反！ 设 $a$ 为瑕点（例如 $x=0$ 对于 $1/x^p$）：

$$ \int_0^1 \frac{1}{x^p} dx $$

• 当 $0 < p < 1$ 时，收敛。
• 当 $p \ge 1$ 时，发散。

直观理解：在 $x \to 0$ 时，分母不能“小得太快”。如果 $p$ 太大，函数值爆炸式增长，贴近 y 轴的面积就会变为无穷大。

很多时候我们积不出原函数，但需要知道积分是否收敛。

设 $0 \le f(x) \le g(x)$：

• 若大函数 $\int g(x)$ 收敛 $\implies$ 小函数 $\int f(x)$ 收敛。
• 若小函数 $\int f(x)$ 发散 $\implies$ 大函数 $\int g(x)$ 发散。
• (记忆：大的收敛小的必收敛，小的撑死大的必撑死)

这是最实用的方法。将复杂函数 $f(x)$ 与标准 P-积分函数 $g(x) = 1/x^p$ 进行比较。

若 $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{g(x)} = C$ ($0 < C < +\infty$)，则： $\int f(x) dx$ 与 $\int g(x) dx$ 同敛散。

实战步骤： 1. 抓大头：观察 $f(x)$ 在 $x \to \infty$ 时的主要项。 2. 定阶数：确定等价的 $1/x^p$ 中的 $p$。 3. 下结论：根据 $p$ 与 1 的关系判断。

示例：判断 $\int_1^{+\infty} \frac{x}{1+x^3} dx$ 的敛散性。 1. 当 $x \to \infty$ 时，分子 $\sim x$，分母 $\sim x^3$。 2. 整体 $\sim \frac{x}{x^3} = \frac{1}{x^2}$。 3. 因为 $p=2 > 1$，所以原积分收敛。

$$ \int_0^{+\infty} \frac{\sin x}{x} dx = \frac{\pi}{2} $$

• 这是一个条件收敛的积分（绝对值发散，原积分收敛）。

$$ \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi} $$

• 统计学正态分布的基础。

$$ \Gamma(s) = \int_0^{+\infty} x^{s-1} e^{-x} dx \quad (s > 0) $$

• 阶乘的推广：$\Gamma(n+1) = n!$