“说穿了，导数这玩意儿真的相当简单，一言以蔽之，就是'斜率'。”

这句话非常精准地道出了导数的几何本质。但这只是冰山一角，本教程将带你全面掌握导数。

想象你在开车：

• 平均速度：你 2 小时开了 120 公里，平均速度是 60km/h。
• 瞬时速度：你扫了一眼仪表盘，指针指向 70km/h。这就是导数。

在几何上，平均变化率是割线的斜率，而导数是切线的斜率。

导数是当自变量的变化量趋近于 0 时，函数值的变化量与自变量变化量比值的极限。

设函数 $y = f(x)$，在点 $x_0$ 处的导数定义为：

$$ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} $$

或者写作： $$ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$

导数有多种写法，混用时不要感到困惑：

• 拉格朗日记法：$f'(x)$ 或 $y'$ （最常用）
• 莱布尼茨记法：$\frac{dy}{dx}$ 或 $\frac{d}{dx}f(x)$ （强调微小的增量比，方便链式法则）
• 牛顿记法：$\dot{y}$ （通常用于物理中表示对时间的导数）

如果函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导，那么 $f'(x_0)$ 就代表曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x_0, f(x_0))$ 处的切线斜率。

切线方程公式： 根据点斜式，切线方程为： $$ y - f(x_0) = f'(x_0) \cdot (x - x_0) $$

当函数变得复杂时，我们需要利用法则拆解计算。假设 $u = u(x)$ 和 $v = v(x)$ 均可导。

• 加减法则： $(u \pm v)' = u' \pm v'$
• 乘法法则 (Product Rule)： $(uv)' = u'v + uv'$ （前导后不导 + 后导前不导）
• 除法法则 (Quotient Rule)： $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ （上导下不导 - 下导上不导，分母平方）

处理复合函数 $y = f(g(x))$ 的利器。就像剥洋葱一样，由外向内求导。

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} $$ 或者： $$ [f(g(x))]' = f'(g(x)) \cdot g'(x) $$

例子： 求 $y = \sin(x^2)$ 的导数。

1. 外层函数是 $\sin(\cdot)$，导数是 $\cos(\cdot)$
2. 内层函数是 $x^2$，导数是 $2x$
3. 结果：$y' = \cos(x^2) \cdot 2x$

当函数形式不再是简单的 $y=f(x)$，或者表达式极其繁琐时，我们需要更高级的武器。

有些函数很难显式地写成 $y = \dots$ 的形式（例如圆的方程 $x^2 + y^2 = 25$）。此时，我们将 $y$ 看作 $x$ 的函数 $y(x)$，直接对等式两边求导。

核心步骤：

1. 1. 等式两边同时对 $x$ 求导。
2. 2. 遇到含 $y$ 的项时，应用链式法则，乘以 $y'$ (即 $\frac{dy}{dx}$)。
3. 3. 整理方程，解出 $y'$。

示例： 求圆 $x^2 + y^2 = 25$ 的切线斜率。

1. 对 $x$ 求导： $\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(25)$
2. 应用链式法则： $2x + 2y \cdot y' = 0$
3. 解出 $y'$： $2y \cdot y' = -2x \implies y' = -\frac{x}{y}$

适用于两类场景：

1. 1. 幂指函数：底数和指数都含有 $x$，如 $y = x^x$ 或 $y = (\sin x)^x$。
2. 2. 复杂的连乘/连除：如 $y = \frac{(x-1)^3 \sqrt{x+2}}{(x+5)^4}$。

核心步骤：

1. 1. 等式两边取自然对数 $\ln$。
2. 2. 利用对数性质化简右边（乘变加，除变减，指数提前）。
3. 3. 两边对 $x$ 隐函数求导（左边变成 $\frac{1}{y} \cdot y'$）。
4. 4. 移项解出 $y'$，并将 $y$ 替换回原表达式。

示例： 求 $y = x^x$ 的导数。

1. 取对数： $\ln y = \ln(x^x) = x \ln x$
2. 两边求导： $\frac{1}{y} y' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x}$
3. 整理： $\frac{y'}{y} = \ln x + 1$
4. 结果： $y' = y(\ln x + 1) = x^x(\ln x + 1)$

这是导数在物理和几何中最动态的应用。当多个变量（如体积 $V$、半径 $r$、高度 $h$）都随时间 $t$ 变化，且它们之间存在某种关系方程时，我们可以求出它们变化率之间的关系。

解题四步法：

1. 1. 绘图与设变量：画出示意图，用变量表示随时间变化的量（如 $x(t), y(t)$）。
2. 2. 列关系式：找到连接这些变量的静态方程（如勾股定理、体积公式）。
3. 3. 对 $t$ 求导：等式两边对时间 $t$ 求导（注意：每个变量 $x$ 都要导成 $\frac{dx}{dt}$）。
4. 4. 代入求解：将已知的数值和变化率代入，解出未知的变化率。

示例：吹气球 假设气球是球体，半径以 $2 \text{ cm/s}$ 的速度增加。当半径 $r = 10 \text{ cm}$ 时，体积增加得有多快？

1. 已知：$\frac{dr}{dt} = 2$，求 $\frac{dV}{dt}$ 当 $r=10$。
2. 关系式：$V = \frac{4}{3}\pi r^3$
3. 对 $t$ 求导：$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 \cdot \frac{dr}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$
4. 代入：$\frac{dV}{dt} = 4\pi (10)^2 (2) = 800\pi \approx 2513 \text{ cm}^3/\text{s}$

导数的导数，称为二阶导数，记作 $f''(x)$ 或 $\frac{d^2y}{dx^2}$。

• 一阶导数 $f'(x)$：描述函数的增减性（斜率正负）。
• 二阶导数 $f^{\prime\prime}(x)$：描述函数的凹凸性（弯曲方向）。

• $f''(x) > 0$：凹函数 (Concave Up, 像个碗)，$f'(x)=0$时有极小值。
• $f''(x) < 0$：凸函数 (Concave Down, 像个拱门)，$f'(x)=0$时有极大值。
• 物理意义：如果 $s(t)$ 是位移，则 $s'(t)$ 是速度，$s''(t)$ 是加速度。

寻找函数峰值的方法：

1. 1. 求导 $f'(x)$。
2. 2. 令 $f'(x) = 0$，解出驻点 (Critical Points)。
3. 3. 判断这些点是极大值、极小值还是拐点（使用一阶导数符号变化或二阶导数测试）。

处理 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 型极限的神器。

$$ \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)} $$

用多项式去逼近任意复杂函数。导数是泰勒展开系数的核心来源。 $$ f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \dots $$

导数不仅能求斜率，还能帮我们心算复杂的数值。 基本思想：在一点附近，曲线可以用切线来代替。这叫做局部线性化。

如果 $x$ 接近 $a$，那么： $$ f(x) \approx L(x) = f(a) + f'(a)(x-a) $$

这本质上就是泰勒公式的一阶展开。也可以理解为： $$ \Delta y \approx dy = f'(a) \Delta x $$ （函数值的真实改变量 $\approx$ 切线上的改变量）

示例：不用计算器，估算 $\sqrt{4.1}$ 的值

1. 1. 设函数：$f(x) = \sqrt{x}$。
2. 2. 找基准点：选一个离 4.1 很近且好算的数，选 $a=4$（因为 $\sqrt{4}=2$）。此时 $\Delta x = 0.1$。
3. 3. 求导数：$f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。
4. 4. 算斜率：在 $a=4$ 处的斜率是 $f'(4) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4} = 0.25$。
5. 5. 代入公式：

$$ \sqrt{4.1} \approx f(4) + f'(4)(4.1 - 4) $$ $$ \approx 2 + 0.25 \times 0.1 = 2.025 $$ 验证：计算器算出的真实值约为 $2.0248$，误差非常小！

函数连续不一定可导。以下情况不可导：

1. 尖点/角点：如 $y = |x|$ 在 $x=0$ 处。（左右导数不相等，斜率突变）。
2. 不连续点：函数断开了，当然没有切线。
3. 切线垂直：切线斜率为无穷大。