在弹性力学中，许多实际工程问题（如水坝、厚壁圆筒、薄板受拉等）可以简化为二维平面问题。这不仅减少了未知量的个数，还大大降低了数学求解的难度。

平面问题主要分为两类：平面应力问题和平面应变问题。

适用对象： 厚度远小于截面尺寸的薄板（如薄板拉伸）。

特征条件：

• 几何条件： 等厚度薄板 ($t \ll L$)。
• 载荷条件： 载荷平行于板面，且沿厚度方向均匀分布；板面（$z = \pm t/2$）不受力。

应力状态假设：

由于板面不受力且很薄，认为垂直于板面的应力分量为零：

$$ \sigma_z = 0, \quad \tau_{zx} = 0, \quad \tau_{zy} = 0 $$

仅存在平面内的应力分量：$\sigma_x, \sigma_y, \tau_{xy}$。

本构方程 (Hooke's Law)：

$$ \begin{cases} \varepsilon_x = \frac{1}{E}(\sigma_x - \mu \sigma_y) \\ \varepsilon_y = \frac{1}{E}(\sigma_y - \mu \sigma_x) \\ \gamma_{xy} = \frac{2(1+\mu)}{E} \tau_{xy} = \frac{1}{G} \tau_{xy} \end{cases} $$

注意：虽然假设 $\sigma_z=0$，但由泊松效应，$\varepsilon_z \neq 0$。

$$ \varepsilon_z = -\frac{\mu}{E}(\sigma_x + \sigma_y) $$

适用对象： 纵向长度远大于横截面尺寸的柱形物体（如水坝、隧道、滚柱）。

特征条件：

• 几何条件： 很长的柱体 ($L \gg R$)。
• 载荷条件： 载荷垂直于纵轴（$z$轴），且沿长度不变；两端受约束，纵向位移受限。

应变状态假设：

由于很长且受约束，认为所有截面变形相同，且无纵向伸长：

$$ \varepsilon_z = 0, \quad \gamma_{zx} = 0, \quad \gamma_{zy} = 0 $$

仅存在平面内的应变分量：$\varepsilon_x, \varepsilon_y, \gamma_{xy}$。

本构方程：

由 $\varepsilon_z = \frac{1}{E}[\sigma_z - \mu(\sigma_x + \sigma_y)] = 0$，导出 $\sigma_z = \mu(\sigma_x + \sigma_y)$。代入物理方程消去 $\sigma_z$ 得：

$$ \begin{cases} \varepsilon_x = \frac{1-\mu^2}{E}(\sigma_x - \frac{\mu}{1-\mu} \sigma_y) \\ \varepsilon_y = \frac{1-\mu^2}{E}(\sigma_y - \frac{\mu}{1-\mu} \sigma_x) \\ \gamma_{xy} = \frac{2(1+\mu)}{E} \tau_{xy} \end{cases} $$

对比两类问题的本构方程，形式完全一致，只需进行参数代换即可通用解法：

无论哪类平面问题，在直角坐标系下都需满足以下方程（以应力表示）：

1. 平衡微分方程 (Equilibrium Equations):

$$ \begin{cases} \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y} + f_x = 0 \\ \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_y}{\partial y} + f_y = 0 \end{cases} $$

2. 变形协调方程 (Compatibility Equation):

仅满足平衡方程是不够的，还需要保证变形连续。由几何方程 $\varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x}, \varepsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y}, \gamma_{xy} = \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y}$ 消去位移 $u, v$，得到：

$$ \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x \partial y} $$

将本构方程代入上式，并利用平衡方程，可推导出应力表示的协调方程（Lévy-Mises方程）：

$$ \nabla^2 (\sigma_x + \sigma_y) = -(1+\mu)(\frac{\partial f_x}{\partial x} + \frac{\partial f_y}{\partial y}) $$

若体力为常数或忽略不计，则简化为拉普拉斯方程：

$$ \nabla^2 (\sigma_x + \sigma_y) = 0 $$

为了求解上述方程组，Airy (1862) 提出了一种引入中间函数的方法。

在无体力（或常体力）情况下，为了自动满足平衡方程，定义标量函数 $\Phi(x, y)$ 如下：

$$ \sigma_x = \frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2}, \quad \sigma_y = \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2}, \quad \tau_{xy} = -\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x \partial y} $$

验证： 将上述定义代入第一平衡方程 $\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial y}$：

$$ \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2}) + \frac{\partial}{\partial y}(-\frac{\partial^2 \Phi}{\partial x \partial y}) = \frac{\partial^3 \Phi}{\partial x \partial y^2} - \frac{\partial^3 \Phi}{\partial x \partial y^2} = 0 $$

同理可验证第二平衡方程。因此，只要 $\Phi$ 存在且连续可微，平衡方程自动满足。

将应力函数的定义代入相容方程 $\nabla^2 (\sigma_x + \sigma_y) = 0$：

$$ \nabla^2 (\frac{\partial^2 \Phi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \Phi}{\partial x^2}) = 0 $$

即：

$$ \nabla^2 (\nabla^2 \Phi) = 0 \quad \text{or} \quad \nabla^4 \Phi = \frac{\partial^4 \Phi}{\partial x^4} + 2\frac{\partial^4 \Phi}{\partial x^2 \partial y^2} + \frac{\partial^4 \Phi}{\partial y^4} = 0 $$

这就是著名的双调和方程。

求解思路： 1. 逆解法： 设定 $\Phi$ 为多项式，求出对应的应力，看满足什么边界条件（解决什么问题）。

2. 半逆解法： 根据边界条件假设 $\Phi$ 的一部分形式（如 $f(y)$），代入双调和方程求解未知部分。

对于具有圆形边界（如圆孔、圆盘、曲梁）的问题，使用极坐标 $(r, \theta)$ 求解更为方便。

1. 平衡方程：

取微元体，考虑径向和切向力的平衡（注意坐标轴随角度旋转产生的投影分量）：

$$ \begin{cases} \frac{\partial \sigma_r}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial \tau_{r\theta}}{\partial \theta} + \frac{\sigma_r - \sigma_\theta}{r} + f_r = 0 \\ \frac{1}{r}\frac{\partial \sigma_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial \tau_{r\theta}}{\partial r} + \frac{2\tau_{r\theta}}{r} + f_\theta = 0 \end{cases} $$

2. 几何方程（应变-位移）：

$$ \begin{cases} \varepsilon_r = \frac{\partial u_r}{\partial r} \\ \varepsilon_\theta = \frac{u_r}{r} + \frac{1}{r}\frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} \quad \text{(含径向位移引起的环向伸长)} \\ \gamma_{r\theta} = \frac{1}{r}\frac{\partial u_r}{\partial \theta} + \frac{\partial u_\theta}{\partial r} - \frac{u_\theta}{r} \quad \text{(含转动修正)} \end{cases} $$

3. 极坐标下的应力函数与相容方程：

定义极坐标下的 Airy 应力函数 $\Phi(r, \theta)$：

$$ \sigma_r = \frac{1}{r}\frac{\partial \Phi}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 \Phi}{\partial \theta^2} $$

$$ \sigma_\theta = \frac{\partial^2 \Phi}{\partial r^2} $$

$$ \tau_{r\theta} = -\frac{\partial}{\partial r}(\frac{1}{r}\frac{\partial \Phi}{\partial \theta}) $$

相容方程仍为 $\nabla^4 \Phi = 0$，但在极坐标下算子 $\nabla^2$ 变为：

$$ \nabla^2 = \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2}{\partial \theta^2} $$

若应力、变形与角度 $\theta$ 无关（如受内压的圆筒），则 $\Phi = \Phi(r)$。

推导通解：

双调和方程简化为欧拉型常微分方程：

$$ (\frac{d^2}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d}{dr})(\frac{d^2 \Phi}{dr^2} + \frac{1}{r}\frac{d \Phi}{dr}) = 0 $$

令 $F(r) = \nabla^2 \Phi = \frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r \frac{d\Phi}{dr})$，则有：

$$ \frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r \frac{dF}{dr}) = 0 \implies r \frac{dF}{dr} = C_1 \implies F = C_1 \ln r + C_2 $$

即：

$$ \frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r \frac{d\Phi}{dr}) = C_1 \ln r + C_2 $$

积分两次，可得轴对称问题的应力函数通解：

$$ \Phi(r) = A \ln r + B r^2 \ln r + C r^2 + D $$

其中 $A, B, C, D$ 由边界条件确定。

• $A \ln r$ 项：对应纯弯曲或厚壁筒受压。
• $B r^2 \ln r$ 项：通常会导致位移多值性，在圆环闭合域问题中通常 $B=0$。
• $C r^2$ 项：对应均匀拉压。