在弹性力学问题的求解过程中，为了简化边界条件、确保解的可靠性以及处理复杂载荷，我们依赖于三大核心原理：圣维南原理、解的唯一性定理和叠加原理。

圣维南原理是弹性力学中处理边界条件的重要工具，它允许我们将复杂的实际边界载荷简化为静力等效的简单载荷。

表述： 如果作用在弹性体表面上某一不大的局部面积上的力系，被作用在同一局部面积上的另一静力等效力系（即主矢量相同，主矩也相同）所代替，则载荷的这种重新分布，只在离载荷作用处很近的地方，才使应力的分布发生显著的变化，而在离载荷较远（通常认为距离大于载荷作用区域的线性尺寸）处只有极小的影响。

应用场景：

• 简化边界条件： 在工程实际中，很难精确描述杆端具体的面力分布（例如拉伸试验机夹头的具体夹持力）。根据圣维南原理，我们只需要知道端部合力和合力矩，就可以按简单的分布（如均匀分布或线性分布）来计算远离端部的应力。
• 应力集中： 说明了孔边、切口等处的应力集中现象具有局部性。

数学证明参考： 圣维南原理的严格数学证明较为复杂，可参考：

• Sternberg E., Quart, Appl. Math. 11, NO. 4, 1954
• Sternberg E. and Koiter W. T., J. Appl. Mech., 25, 575-581, (1958)
• Flavin, J. N., ZAMP, vol. 29, (1978), 328-332

在研究弹性力学问题时，必须回答解是否存在以及是否唯一的问题。

定理表述：

在小变形条件下，对于受一组平衡力系作用的物体，如果给定了边界条件（位移边界、力边界或混合边界），则其应力和应变的解是唯一的。

• (注：位移的解包含6个表征刚体位移的任意常数，但在确定了约束条件排除刚体位移后，位移解也是唯一的。)*

证明过程：

采用反证法。

1. 假设：设问题的解不唯一，存在两组不同的应力解 $\sigma_{ij}^{(1)}$ 和 $\sigma_{ij}^{(2)}$，对应的位移为 $u_i^{(1)}$ 和 $u_i^{(2)}$。

2. 构造差量：

定义差量状态：

$$ \sigma_{ij}^* = \sigma_{ij}^{(1)} - \sigma_{ij}^{(2)} $$

$$ u_i^* = u_i^{(1)} - u_i^{(2)} $$

3. 满足方程：

由于 $\sigma_{ij}^{(1)}$ 和 $\sigma_{ij}^{(2)}$ 都满足平衡方程和协调方程，且体力 $F_{bi}$ 相同。

代入平衡方程 $\sigma_{ij,j} + F_{bi} = 0$ 相减得：

$$ \sigma_{ij,j}^* = 0 $$

这表明差量状态对应于无体力的状态。

4. 满足边界条件：

设边界条件为 $\sigma_{ij}^{(1)} n_j = P_i$ 和 $\sigma_{ij}^{(2)} n_j = P_i$（在力边界上）。

相减得：

$$ \sigma_{ij}^* n_j = 0 $$

这表明差量状态对应于无面力的状态。

5. 能量分析与结论：

差量状态 $\sigma_{ij}^*$ 对应于一个无体力、无面力的自然状态。

根据物理定义，无外力作用的自然状态下，物体内部无应力、无应变（忽略残余应力）。

因此，在全部体积内必有：

$$ \sigma_{ij}^* = 0 \implies \sigma_{ij}^{(1)} = \sigma_{ij}^{(2)} $$

证毕。

叠加原理是将复杂受力问题分解为简单受力问题的理论基础。

适用条件：

1. 线弹性材料（服从胡克定律）。

2. 小变形假设（平衡方程建立在变形前的几何形状上）。

原理表述：

如果物体同时受到几组载荷（体力、面力）的作用，那么物体内引起的应力、应变和位移，等于每一组载荷单独作用时所引起的应力、应变和位移的代数和（或矢量和）。

证明过程：

设物体受到两组载荷作用：

• 第一组：体力 $F_{bi}$，面力 $p_i$，产生应力 $\sigma_{ij}$
• 第二组：体力 $F'_{bi}$，面力 $p'_i$，产生应力 $\sigma'_{ij}$

1. 平衡方程的线性性：

$$ \sigma_{ij,j} + F_{bi} = 0 $$

$$ \sigma'_{ij,j} + F'_{bi} = 0 $$

两式相加：

$$ (\sigma_{ij} + \sigma'_{ij})_{,j} + (F_{bi} + F'_{bi}) = 0 $$

说明合应力满足在合体力作用下的平衡方程。

2. 边界条件的线性性：

$$ p_i = \sigma_{ij} n_j $$

$$ p'_i = \sigma'_{ij} n_j $$

两式相加：

$$ (p_i + p'_i) = (\sigma_{ij} + \sigma'_{ij}) n_j $$

说明合应力满足在合面力作用下的边界条件。

3. 结论：

同理，几何方程和物理方程（胡克定律）都是线性方程。因此，$(\sigma_{ij} + \sigma'_{ij})$ 必然是满足由合载荷 $(p_i + p'_i)$ 和 $(F_{bi} + F'_{bi})$ 构成的边值问题的解。

证毕。