本页面主要阐述弹性力学中关于物体变形的描述，包括位移、应变的概念、几何方程、变形协调方程以及主应变理论。

在弹性力学中，物体的变形通过空间中点的位移 (Displacement) 来描述。 假设空间中一点 $P(x, y, z)$ 变形后移动到 $P'(x', y', z')$，其位移分量定义为：

• $x$ 方向位移：$u = u(x, y, z)$
• $y$ 方向位移：$v = v(x, y, z)$
• $z$ 方向位移：$w = w(x, y, z)$

小变形假设 (Small Deformation Theory)： 在工程弹性力学中，通常假设变形极其微小，即位移的导数（变形梯度）远小于1。这允许我们忽略高阶微量，线性化几何方程。

应变用于描述变形的剧烈程度（相对变形）。

几何方程建立了位移与应变之间的微分关系。

• 正应变：

$$ \varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x} $$ $$ \varepsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y} $$

• 切应变（工程切应变）：

$$ \gamma_{xy} = \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} $$

在三维空间中，共有6个应变分量：

$$ \begin{cases} \varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x}, \quad \varepsilon_y = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \varepsilon_z = \frac{\partial w}{\partial z} \\ \gamma_{yz} = \frac{\partial w}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial z} \\ \gamma_{xz} = \frac{\partial u}{\partial z} + \frac{\partial w}{\partial x} \\ \gamma_{xy} = \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial y} \end{cases} $$

为了便于数学处理（如坐标变换），引入张量记法。

注意： 张量剪应变 ($\varepsilon_{ij}$) 与工程剪应变 ($\gamma_{ij}$) 存在系数 $\frac{1}{2}$ 的差异。

$$ \varepsilon_{ij} = \frac{1}{2} (u_{i,j} + u_{j,i}) $$

即： $$ \varepsilon_{xy} = \frac{1}{2} \gamma_{xy}, \quad \varepsilon_{yz} = \frac{1}{2} \gamma_{yz}, \quad \varepsilon_{zx} = \frac{1}{2} \gamma_{zx} $$

应变张量矩阵表示如下：

$$ \varepsilon_{ij} = \begin{bmatrix} \varepsilon_x & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\ \varepsilon_{yx} & \varepsilon_y & \varepsilon_{yz} \\ \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \varepsilon_x & \frac{1}{2}\gamma_{xy} & \frac{1}{2}\gamma_{xz} \\ \frac{1}{2}\gamma_{yx} & \varepsilon_y & \frac{1}{2}\gamma_{yz} \\ \frac{1}{2}\gamma_{zx} & \frac{1}{2}\gamma_{zy} & \varepsilon_z \end{bmatrix} $$

易错点提示： 在使用张量运算公式（如主应变计算、坐标变换）时，切应力项必须使用 $\frac{1}{2}\gamma$；而在物理概念和胡克定律的某些形式中，常直接使用 $\gamma$。

背景： 我们有3个位移分量 ($u, v, w$)，却导出了6个应变分量。这说明6个应变分量不是独立的。为了保证变形后的物体仍然是连续的（没有撕裂或重叠），应变分量必须满足一定的约束条件，即圣维南 (Saint-Venant) 变形协调方程。

方程组 (6个)：

1. 涉及正应变与切应变的二阶导数关系： $$ \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{xy}}{\partial x \partial y} $$ $$ \frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial y^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{yz}}{\partial y \partial z} $$ $$ \frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial z^2} = \frac{\partial^2 \gamma_{zx}}{\partial z \partial x} $$

2. 涉及混合导数关系： $$ 2\frac{\partial^2 \varepsilon_x}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial x} (-\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z}) $$ $$ 2\frac{\partial^2 \varepsilon_y}{\partial x \partial z} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} - \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z}) $$ $$ 2\frac{\partial^2 \varepsilon_z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial z} (\frac{\partial \gamma_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \gamma_{zx}}{\partial y} - \frac{\partial \gamma_{xy}}{\partial z}) $$

类似于主应力，对于任意一点的应变状态，总存在三个相互垂直的方向，在这些方向上切应变为零，只有正应变。这些正应变称为主应变，分别记为 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$（按代数值大小排序）。

主应变是以下三次方程（特征方程）的根：

$$ \varepsilon^3 - I_1 \varepsilon^2 + I_2 \varepsilon - I_3 = 0 $$

其中 $I_1, I_2, I_3$ 为应变不变量（无论坐标系如何旋转，这些值不变）：

• 第一不变量 (体积应变)：

$$ I_1 = \varepsilon_x + \varepsilon_y + \varepsilon_z $$

• 第二不变量：

$$ I_2 = \varepsilon_x \varepsilon_y + \varepsilon_y \varepsilon_z + \varepsilon_z \varepsilon_x - (\varepsilon_{xy}^2 + \varepsilon_{yz}^2 + \varepsilon_{zx}^2) $$

• 第三不变量：

$$ I_3 = \det(\varepsilon_{ij}) $$

最大切应变发生在与主应变方向成 $45^\circ$ 的面上：

$$ \gamma_{max} = \pm (\varepsilon_1 - \varepsilon_3) $$

应变状态也可以用图解法表示，即应变莫尔圆。 其构造方法与应力莫尔圆类似，但需注意坐标轴的定义：

• 横轴：正应变 $\varepsilon$
• 纵轴：半切应变 $\frac{\gamma}{2}$ (或 $\varepsilon_{xy}$)

记忆口诀： 应力圆用 $\tau$，应变圆用 $\gamma/2$。

思路： 直接利用几何方程进行偏微分运算。 例如，若 $u = 3x^2$，则 $\varepsilon_x = \frac{\partial u}{\partial x} = 6x$。

思路： 将给定的应变函数代入变形协调方程。 * 如果满足所有协调方程，则该应变状态物理上是可能的。 * 如果不满足（例如等式左边不等于右边），则该应变场不可能存在于连续体中。

在纯剪切状态下，主应变方向通常与剪切面成 $45^\circ$ 角，且 $\varepsilon_1 = -\varepsilon_2 = \frac{1}{2}\gamma_{xy}$。