本章主要探讨弹性体内部的受力状态，从一点的应力定义出发，扩展到三维空间的应力状态、坐标变换、主应力分析以及平衡方程。

在连续体内取一点 $P$，在其上取一截面 $\Delta S$，该截面法线方向为 $n$。作用在该截面上的内力合力为 $\Delta F$。

应力矢量（或称全应力）定义为面积趋于零时的极限： $$ \vec{T}_{(n)} = \lim_{\Delta S \to 0} \frac{\Delta \vec{F}}{\Delta S} $$

工程应力 vs. 真实应力 根据变形程度的不同，面积 $\Delta S$ 的选取有所区别：

• 小变形假设：$\Delta S$ 取为初始面积（变形前）。此时计算出的应力称为工程应力 (Engineering Stress) 或名义应力。
• 大变形情况：$\Delta S$ 取为变形后的实际面积。此时计算出的应力称为真实应力 (True Stress) 或 Cauchy应力。

为了完整描述一点的受力状态，仅用一个面上的应力矢量是不够的。我们需要通过过该点的三个正交截面上的应力分量来描述。

我们在直角坐标系中取一个微元六面体。

这个微元体是一个数学上的无穷小量，即现在是一个体，无穷精度下是一个点(体积为0)。

第一个下标代表法向量所在轴，第二个下标为方向所在轴。

记忆：我在哪，我看见的是什么

$\sigma_{xx} $也简记为$\sigma_{x} $

• 正面 (Positive Face)：法线方向指向坐标轴正向的面。
• 负面 (Negative Face)：法线方向指向坐标轴负向的面。

应力正负号规定：

• 正应力 ($\sigma$)：指向外为拉（正），指向内为压（负）。
• 剪应力 ($\tau$)：
  • 在正面上，指向坐标轴正向为正；
  • 在负面上，指向坐标轴反向为正。
• 口诀：“正面正向，负面负向，乘积为正”。

一点的应力状态由9个分量组成的二阶张量表示：

$$ \sigma_{ij} = \left[ \begin{matrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z \end{matrix} \right] $$

剪应力互等定理 (Shear Stress Reciprocity)： 根据微元体的力矩平衡，可得： $$ \tau_{ij} = \tau_{ji} \quad (i \neq j) $$ 即 $\tau_{xy} = \tau_{yx}$，$\tau_{yz} = \tau_{zy}$，$\tau_{zx} = \tau_{xz}$。因此，应力张量是一个对称张量，独立的应力分量只有6个。

因为微元体本质上会变成一个点，体积的极限是0，因此剖一刀0，补一片0，还是同一个微元体，这句话对吗？

斜切一刀后，微元体的体积依然是一个无穷小量，犹如$0.000\dot{0}2$与$0.000\dot{0}1$极限相同，现在的三角柱也代表这点的应力。

斜截面的法线与 $x$ 轴夹角为 $\theta$。

现在$\sigma_x$、$\sigma_y$、$\tau_{xy}$已知。求$\sigma_{x^{'}}$、$\sigma_{y{'}}$、$\tau_{x{'}y^{'}}$，其中$\sigma_{y{'}}$这里看不见,再切一刀可以看见。

通过建立微元楔形体的平衡方程（$\sum F_x = 0, \sum F_y = 0$），可推导出斜截面上的正应力 $\sigma_\theta$ 和剪应力 $\tau_\theta$：

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设$i$，$j$是$Oxy$的基，$i^{'}$，$j^{'}$是$Ox^{'}y^{'}$的基

则$i^{'}=\cos \theta i +\sin \theta j$，$j^{'}=-\sin \theta i +\cos \theta j$

$ -\sigma_x \cdot OB \cdot i-$$ \tau_{xy} \cdot OB \cdot j -$$ \tau_{yx} \cdot OC \cdot i -$$ \sigma_y \cdot OC \cdot j+$$ \sigma_{x^{'}} \cdot BC \cdot i^{'}+$$ \tau_{x^{'}y^{'}} \cdot BC \cdot j^{'} =0$

$ -\sigma_x \cdot \cos \theta \cdot i-$$ \tau_{xy} \cdot \cos \theta \cdot j -$$ \tau_{yx} \cdot \sin \theta \cdot i -$$ \sigma_y \cdot \sin \theta \cdot j+$$ \sigma_{x^{'}} \cdot (\cos \theta \cdot i + \sin \theta \cdot j)+$$ \tau_{x^{'}y^{'}} \cdot (- \sin \theta \cdot i + \cos \theta \cdot j) =0$

得： $i \cdot (-\sigma_x \cos \theta - \tau_{xy} \sin \theta + \sigma{_x^{'}} \cos \theta- \tau_{x^{'}y^{'}} \sin \theta)$$+j \cdot (-\tau_{xy} \cos \theta -\sigma_y \sin \theta + \sigma{_x^{'}} \sin \theta+\tau_{x^{'}y^{'}} \cos \theta) $

将i基和j基的系数拆分成两个方程，则

$-\sigma_x \cos \theta - \tau_{xy} \sin \theta + \sigma{_x^{'}} \cos \theta- \tau_{x^{'}y^{'}} \sin \theta = 0$

$-\tau_{xy} \cos \theta -\sigma_y \sin \theta + \sigma{_x^{'}} \sin \theta+\tau_{x^{'}y^{'}} \cos \theta =0 $

中间消分的步骤略去，将$\sigma_{x^{'}} $记作$\sigma_\theta $，将$\tau_{x^{'}y^{'}} $记作$\tau_\theta$

得：

$$ \sigma_\theta = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} + \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \cos 2\theta + \tau_{xy} \sin 2\theta $$

$$ \tau_\theta = - \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \sin 2\theta + \tau_{xy} \cos 2\theta $$

该方程形成一个摩尔应力圆

主应力 (Principal Stresses)： 当剪应力 $\tau_\theta = 0$ 时，正应力达到极值。此时的平面为主平面，对应的正应力为主应力： $$ \sigma_{\max, \min} = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} \pm \sqrt{ \left( \frac{\sigma_x - \sigma_y}{2} \right)^2 + \tau_{xy}^2 } $$

主平面方位角： $$ \tan 2\theta_0 = \frac{2\tau_{xy}}{\sigma_x - \sigma_y} $$

摩尔圆 (Mohr's Circle)： 上述公式是一个圆的参数方程。在 $\sigma - \tau$ 坐标系中，应力状态的变化轨迹是一个圆，圆心为 $(\frac{\sigma_x+\sigma_y}{2}, 0)$，半径为 $R = \sqrt{ (\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2})^2 + \tau_{xy}^2 }$。

在三维空间中，取一个柯西四面体 (Cauchy Tetrahedron)。斜面法向量为 $\vec{n} = (l, m, n)$ 或 $(l_1, l_2, l_3)$。

柯西公式 (Cauchy Formula)： 斜面上的全应力矢量 $\vec{P} = (P_x, P_y, P_z)$ 与坐标面应力分量的关系为（张量记法）： $$ P_i = \sigma_{ij} n_j \quad (i,j = x,y,z) $$ 展开形式： $$ \begin{cases} P_x = \sigma_x l + \tau_{xy} m + \tau_{xz} n \\ P_y = \tau_{yx} l + \sigma_y m + \tau_{yz} n \\ P_z = \tau_{zx} l + \tau_{zy} m + \sigma_z n \end{cases} $$

斜面上的正应力 $\sigma_n$ 是全应力在法线方向的投影： $$ \sigma_n = \vec{P} \cdot \vec{n} = P_x l + P_y m + P_z n $$ 斜面上的剪应力 $\tau_n$： $$ \tau_n^2 = |\vec{P}|^2 - \sigma_n^2 = (P_x^2 + P_y^2 + P_z^2) - \sigma_n^2 $$

在三维空间中寻找一个特殊截面，使其上剪应力为零，全应力方向与法线方向平行（即 $\vec{P} = \sigma \vec{n}$）。 代入柯西公式可得特征方程组： $$ \begin{cases} (\sigma_x - \sigma)l + \tau_{xy}m + \tau_{xz}n = 0 \\ \tau_{yx}l + (\sigma_y - \sigma)m + \tau_{yz}n = 0 \\ \tau_{zx}l + \tau_{zy}m + (\sigma_z - \sigma)n = 0 \end{cases} $$ 为了有非零解（$l,m,n$ 不全为0），系数行列式必须为零。展开后得到关于 $\sigma$ 的一元三次方程：

$$ \sigma^3 - I_1 \sigma^2 + I_2 \sigma - I_3 = 0 $$

该方程的三个根 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ 即为主应力。通常规定 $\sigma_1 \ge \sigma_2 \ge \sigma_3$。

应力不变量 (Stress Invariants)： 方程的系数 $I_1, I_2, I_3$ 在坐标变换下保持不变，称为应力不变量：

• 第一不变量：$I_1 = \sigma_x + \sigma_y + \sigma_z = \text{tr}(\sigma)$
• 第二不变量：$I_2 = \sigma_x\sigma_y + \sigma_y\sigma_z + \sigma_z\sigma_x - \tau_{xy}^2 - \tau_{yz}^2 - \tau_{zx}^2$
• 第三不变量：$I_3 = \det(\sigma_{ij})$ （应力张量的行列式）

三维应力状态可以用三个摩尔圆来表示。

• 取主轴坐标系，应力分量为 $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$。
• 任意斜截面上的正应力 $\sigma_n$ 和剪应力 $\tau_n$ 必定落在三个圆围成的阴影区域内。

这三个圆分别由主应力两两组合构成：

• 圆 C1：由 $\sigma_2, \sigma_3$ 决定。
• 圆 C2：由 $\sigma_1, \sigma_3$ 决定（最大的圆）。
• 圆 C3：由 $\sigma_1, \sigma_2$ 决定。

最大剪应力： $$ \tau_{\max} = \frac{\sigma_1 - \sigma_3}{2} $$

应力张量 $\sigma_{ij}$ 可以分解为两部分：球应力张量和偏斜应力张量。

$$ \sigma_{ij} = \sigma_m \delta_{ij} + S_{ij} $$

1. 球应力张量 (Spherical Stress Tensor) $$ \sigma_m = \frac{1}{3}(\sigma_x + \sigma_y + \sigma_z) = \frac{1}{3} I_1 $$

• $\sigma_m$ 称为平均正应力或静水压力。
• 物理意义：只引起物体的体积改变（弹性体积变形），不改变形状。

2. 偏斜应力张量 (Deviatoric Stress Tensor) $$ S_{ij} = \sigma_{ij} - \sigma_m \delta_{ij} $$ $$ S_{ij} = \left[ \begin{matrix} \sigma_x - \sigma_m & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{yx} & \sigma_y - \sigma_m & \tau_{yz} \\ \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z - \sigma_m \end{matrix} \right] $$

• 物理意义：只引起物体的形状改变（畸变）。
• 偏应力是导致材料发生塑性变形（屈服）的主要原因（如Mises屈服准则基于偏应力第二不变量 $J_2$）。

研究微元体在体力 $f_i$ 作用下的平衡。

在微元体的各个面上，应力分量由于位置不同而发生微小变化（利用泰勒级数展开，保留一阶项）。

例如 $x$ 方向的平衡：

$$ \left( \sigma_x + \frac{\partial \sigma_x}{\partial x} dx \right) dy dz - \sigma_x dy dz + \dots + f_x dx dy dz = 0 $$

化简后得到纳维 (Navier) 平衡方程：

$$ \begin{cases} \dfrac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \dfrac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \dfrac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} + f_x = 0 \\[8pt] \dfrac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \dfrac{\partial \sigma_y}{\partial y} + \dfrac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} + f_y = 0 \\[8pt] \dfrac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \dfrac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \dfrac{\partial \sigma_z}{\partial z} + f_z = 0 \end{cases} $$

张量记法（爱因斯坦求和约定）： $$ \sigma_{ji, j} + f_i = 0 $$ 其中下标 $j$ 后的逗号表示对坐标 $x_j$ 求偏导。这是弹性力学中最基本的方程之一，描述了应力场必须满足的平衡条件。

答：因为平衡方程用了泰勒展开，即高阶无穷小，高了一阶，所以体积不能忽略。