在实际问题中，常常需要同时考虑多个相互关联的未知函数，这就导致了微分方程组的研究。线性微分方程组是微分方程理论中最重要的部分之一，它不仅在数学理论上完善，在控制理论、电路分析、生态系统等领域也有广泛应用。

一阶线性微分方程组的标准形式为： $\begin{cases} x_1' = a_{11}(t)x_1 + a_{12}(t)x_2 + \cdots + a_{1n}(t)x_n + f_1(t) \\ x_2' = a_{21}(t)x_1 + a_{22}(t)x_2 + \cdots + a_{2n}(t)x_n + f_2(t) \\ \vdots \\ x_n' = a_{n1}(t)x_1 + a_{n2}(t)x_2 + \cdots + a_{nn}(t)x_n + f_n(t) \end{cases}$

其中 $x_i = x_i(t)$ 是未知函数，$a_{ij}(t)$ 和 $f_i(t)$ 是已知连续函数。

引入向量记号： $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{pmatrix}, \quad A(t) = \begin{pmatrix} a_{11}(t) & \cdots & a_{1n}(t) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}(t) & \cdots & a_{nn}(t) \end{pmatrix}, \quad \mathbf{f}(t) = \begin{pmatrix} f_1(t) \\ f_2(t) \\ \vdots \\ f_n(t) \end{pmatrix}$

方程组可简写为： $\mathbf{x}' = A(t)\mathbf{x} + \mathbf{f}(t)$

当 $\mathbf{f}(t) \equiv \mathbf{0}$ 时，称为齐次线性方程组；否则称为非齐次线性方程组。

初值条件为 $\mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0$。

例 7.1 将方程组写成矩阵形式： $\begin{cases} x_1' = 2x_1 + 3x_2 + e^t \\ x_2' = -x_1 + 4x_2 \end{cases}$

解： $\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 4 \end{pmatrix}\mathbf{x} + \begin{pmatrix} e^t \\ 0 \end{pmatrix}$

任何高阶线性微分方程都可以化为一阶线性方程组。

例 7.2 将 $y'' + p(t)y' + q(t)y = f(t)$ 化为方程组。

解： 令 $x_1 = y, x_2 = y'$，则： $\begin{cases} x_1' = x_2 \\ x_2' = -q(t)x_1 - p(t)x_2 + f(t) \end{cases}$

即 $\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -q(t) & -p(t) \end{pmatrix}\mathbf{x} + \begin{pmatrix} 0 \\ f(t) \end{pmatrix}$

定理 7.1 若 $\mathbf{\varphi}_1(t), \ldots, \mathbf{\varphi}_k(t)$ 是齐次方程组 $\mathbf{x}' = A(t)\mathbf{x}$ 的解，则它们的线性组合 $c_1\mathbf{\varphi}_1 + \cdots + c_k\mathbf{\varphi}_k$ 也是解。

定义 7.1 齐次方程组的 $n$ 个线性无关的解称为基本解组。

定义 7.2 以基本解组为列向量构成的矩阵 $\Phi(t) = \begin{pmatrix} \mathbf{\varphi}_1(t) & \mathbf{\varphi}_2(t) & \cdots & \mathbf{\varphi}_n(t) \end{pmatrix}$ 称为基本解矩阵。

定理 7.2 齐次方程组的通解为： $\mathbf{x}(t) = \Phi(t)\mathbf{c} = c_1\mathbf{\varphi}_1 + c_2\mathbf{\varphi}_2 + \cdots + c_n\mathbf{\varphi}_n$ 其中 $\mathbf{c} = (c_1, \ldots, c_n)^T$ 是任意常向量。

例 7.3 验证 $\mathbf{\varphi}_1 = \begin{pmatrix} e^t \\ e^t \end{pmatrix}, \mathbf{\varphi}_2 = \begin{pmatrix} e^{2t} \\ 2e^{2t} \end{pmatrix}$ 是方程组 $\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\mathbf{x}$ 的基本解组。

解： 验证 $\mathbf{\varphi}_1' = \begin{pmatrix} e^t \\ e^t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} e^t \\ e^t \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e^t \\ e^t \end{pmatrix}$ ✓

类似验证 $\mathbf{\varphi}_2$。

计算Wronski行列式： $\det\begin{pmatrix} e^t & e^{2t} \\ e^t & 2e^{2t} \end{pmatrix} = 2e^{3t} - e^{3t} = e^{3t} \neq 0$

故线性无关，是基本解组。

定义 7.3 设 $\mathbf{\varphi}_1, \ldots, \mathbf{\varphi}_n$ 是 $n$ 个解，称 $W(t) = \det(\mathbf{\varphi}_1, \ldots, \mathbf{\varphi}_n)$ 为它们的Wronski行列式。

定理 7.3 $n$ 个解线性无关 $\Leftrightarrow W(t) \neq 0$ 对某点成立。

定理 7.4 (Liouville公式) $W(t) = W(t_0)e^{\int_{t_0}^{t} \text{tr}A(s)ds}$

其中 $\text{tr}A = a_{11} + a_{22} + \cdots + a_{nn}$ 是矩阵 $A$ 的迹。

定理 7.5 设 $\Phi(t)$ 是齐次方程组的基本解矩阵，$\mathbf{\psi}(t)$ 是非齐次方程组的特解，则非齐次方程组的通解为： $\mathbf{x}(t) = \Phi(t)\mathbf{c} + \mathbf{\psi}(t)$

设特解形式： $\mathbf{\psi}(t) = \Phi(t)\mathbf{c}(t)$

代入非齐次方程： $\Phi'\mathbf{c} + \Phi\mathbf{c}' = A\Phi\mathbf{c} + \mathbf{f}$

由于 $\Phi' = A\Phi$，得： $\Phi\mathbf{c}' = \mathbf{f}$

故： $\mathbf{c}(t) = \int \Phi^{-1}(t)\mathbf{f}(t)dt$

特解： $\mathbf{\psi}(t) = \Phi(t)\int \Phi^{-1}(t)\mathbf{f}(t)dt$

例 7.4 求解 $\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}\mathbf{x} + \begin{pmatrix} 0 \\ \sin t \end{pmatrix}$。

解： 齐次方程的基本解矩阵： $\Phi(t) = \begin{pmatrix} \cos t & \sin t \\ -\sin t & \cos t \end{pmatrix}$

$\Phi^{-1}(t) = \begin{pmatrix} \cos t & -\sin t \\ \sin t & \cos t \end{pmatrix}$

$\Phi^{-1}\mathbf{f} = \begin{pmatrix} -\sin^2 t \\ \sin t \cos t \end{pmatrix}$

积分得： $\mathbf{c}(t) = \begin{pmatrix} \frac{t}{2} - \frac{\sin 2t}{4} \\ -\frac{\cos 2t}{4} \end{pmatrix}$

特解： $\mathbf{\psi}(t) = \Phi(t)\mathbf{c}(t) = \begin{pmatrix} \frac{t\cos t}{2} - \frac{\sin t}{4} \\ -\frac{t\sin t}{2} \end{pmatrix}$

通解：$\mathbf{x} = \Phi(t)\mathbf{c} + \mathbf{\psi}(t)$。

习题 7.1 将下列高阶方程化为方程组：

a) $y''' - 2y'' + y' - 2y = 0$
b) $y'' + \omega^2 y = f(t)$

习题 7.2 验证 $\mathbf{\varphi}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}e^{3t}, \mathbf{\varphi}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}e^{-t}$ 是方程组 $\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\mathbf{x}$ 的基本解组。

习题 7.3 设 $\Phi(t) = \begin{pmatrix} e^{2t} & te^{2t} \\ 0 & e^{2t} \end{pmatrix}$，验证它是某齐次方程组的基本解矩阵，并求对应的 $A(t)$。

习题 7.4 利用常数变易法求解 $\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\mathbf{x} + \begin{pmatrix} e^{2t} \\ 0 \end{pmatrix}$。

习题 7.5 证明Liouville公式：若 $\Phi(t)$ 是 $\mathbf{x}' = A(t)\mathbf{x}$ 的基本解矩阵，则 $\det\Phi(t) = \det\Phi(t_0)e^{\int_{t_0}^t \text{tr}A(s)ds}$。

习题 7.1

a) $\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{pmatrix}\mathbf{x}$
b) $\mathbf{x}' = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -\omega^2 & 0 \end{pmatrix}\mathbf{x} + \begin{pmatrix} 0 \\ f(t) \end{pmatrix}$

习题 7.2 验证代入方程和Wronski行列式非零。

习题 7.3 $A(t) = \Phi'(t)\Phi^{-1}(t) = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$

习题 7.4 通解 $\mathbf{x} = \begin{pmatrix} (C_1 + C_2t + \frac{t^2}{2})e^{2t} \\ C_2e^{2t} \end{pmatrix}$

本章主要内容：

• 矩阵表示：线性方程组可用矩阵形式 $\mathbf{x}' = A\mathbf{x} + \mathbf{f}$ 简洁表示
• 基本解组与基本解矩阵：齐次方程组的 $n$ 个线性无关解构成基本解组
• Wronski行列式：判断解的线性无关性
• 通解结构：非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解
• 常数变易法：求非齐次特解的一般方法
• Liouville公式：Wronski行列式的演化规律

这些理论是下一章研究常系数线性方程组的基础。