当线性微分方程的系数不是常数而是自变量的函数时，方程称为变系数线性微分方程。这类方程通常没有通用的初等解法，但在特定情况下（如某些系数为多项式、幂函数等），可用幂级数解法或特殊函数法求解。

本章重点介绍幂级数解法和几种重要的特殊方程。

定义 6.1 若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域内可展开为幂级数 $f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$ 则称 $f$ 在 $x_0$ 处解析。

定理 6.1 若方程 $y'' + p(x)y' + q(x)y = 0$ 的系数 $p(x), q(x)$ 在 $x_0$ 处解析，则方程在 $x_0$ 的某邻域内存在解析解，可表示为幂级数。

设解为 $y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n$，代入方程，比较同次幂系数确定 $a_n$。

例 6.1 用幂级数求解 $y'' + y = 0$ 在 $x = 0$ 附近的解。

解： 设 $y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，则 $y' = \sum_{n=1}^{\infty} na_n x^{n-1}$ $y'' = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n$

代入方程： $\sum_{n=0}^{\infty} [(n+2)(n+1)a_{n+2} + a_n]x^n = 0$

故递推关系： $a_{n+2} = -\frac{a_n}{(n+2)(n+1)}, \quad n = 0, 1, 2, \ldots$

令 $a_0 = C_1, a_1 = C_2$： $a_2 = -\frac{a_0}{2!}, a_4 = \frac{a_0}{4!}, \ldots, a_{2k} = \frac{(-1)^k a_0}{(2k)!}$ $a_3 = -\frac{a_1}{3!}, a_5 = \frac{a_1}{5!}, \ldots, a_{2k+1} = \frac{(-1)^k a_1}{(2k+1)!}$

因此： $y = C_1\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!} + C_2\sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}$ $= C_1\cos x + C_2\sin x$

这与已知结果一致。

定义 6.2 若 $p(x)$ 或 $q(x)$ 在 $x_0$ 处不解析，则称 $x_0$ 为方程的奇点。

定义 6.3 若 $(x-x_0)p(x)$ 和 $(x-x_0)^2q(x)$ 在 $x_0$ 处解析，则称 $x_0$ 为正则奇点；否则为非正则奇点。

在正则奇点 $x_0$ 附近，方程有形如 $y = (x-x_0)^r\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^n = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-x_0)^{n+r}$ 的解，其中 $r$ 为待定常数，$a_0 \neq 0$。

这称为Frobenius级数或广义幂级数。

代入方程后，由最低次幂系数为零得到指标方程，确定 $r$ 的值。

定义 6.4 方程 $(1-x^2)y'' - 2xy' + n(n+1)y = 0$ 称为 $n$ 阶Legendre方程。

$x = 0$ 是常点。设 $y = \sum_{k=0}^{\infty} a_k x^k$，代入得递推关系： $a_{k+2} = \frac{k(k+1) - n(n+1)}{(k+2)(k+1)}a_k = -\frac{(n-k)(n+k+1)}{(k+2)(k+1)}a_k$

当 $n$ 为非负整数时，级数在有限项后截断，得到Legendre多项式。

Legendre多项式： $P_n(x) = \sum_{k=0}^{[n/2]} (-1)^k \frac{(2n-2k)!}{2^n k!(n-k)!(n-2k)!}x^{n-2k}$

或Rodrigues公式： $P_n(x) = \frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n$

前几项： $P_0(x) = 1$ $P_1(x) = x$ $P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)$ $P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)$ $P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3)$

$\int_{-1}^{1} P_m(x)P_n(x)dx = \begin{cases} 0, & m \neq n \\ \frac{2}{2n+1}, & m = n \end{cases}$

定义 6.5 方程 $x^2y'' + xy' + (x^2 - \nu^2)y = 0$ 称为 $\nu$ 阶Bessel方程。

$x = 0$ 是正则奇点。用Frobenius方法，设 $y = \sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+r}$。

指标方程：$r^2 - \nu^2 = 0$，即 $r = \pm \nu$。

第一类Bessel函数（$r = \nu \geq 0$）： $J_\nu(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!\Gamma(k+\nu+1)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+\nu}$

其中 $\Gamma$ 是Gamma函数。

当 $\nu = n$（非负整数）： $J_n(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{k!(k+n)!}\left(\frac{x}{2}\right)^{2k+n}$

前几项： $J_0(x) = 1 - \frac{x^2}{4} + \frac{x^4}{64} - \cdots$ $J_1(x) = \frac{x}{2} - \frac{x^3}{16} + \frac{x^5}{384} - \cdots$

第二类Bessel函数（Neumann函数）： 当 $\nu$ 不是整数时，$J_\nu(x)$ 和 $J_{-\nu}(x)$ 线性无关。

当 $\nu = n$ 为整数时，定义： $Y_n(x) = \lim_{\nu \to n} \frac{J_\nu(x)\cos(\nu\pi) - J_{-\nu}(x)}{\sin(\nu\pi)}$

通解：$y = C_1J_\nu(x) + C_2Y_\nu(x)$

• 递推关系：

$J_{\nu-1}(x) + J_{\nu+1}(x) = \frac{2\nu}{x}J_\nu(x)$

$J_{\nu-1}(x) - J_{\nu+1}(x) = 2J_\nu'(x)$

* 正交性：

$\int_0^1 xJ_n(\alpha_{nk}x)J_n(\alpha_{nj}x)dx = \frac{1}{2}[J_{n+1}(\alpha_{nk})]^2\delta_{kj}$

其中 $\alpha_{nk}$ 是 $J_n(x) = 0$ 的正根。

习题 6.1 用幂级数法求下列方程在 $x = 0$ 附近的通解：

a) $y'' - xy' - y = 0$
b) $(1-x^2)y'' - 2xy' + 2y = 0$

习题 6.2 验证 $P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)$ 满足Legendre方程（$n = 2$）。

习题 6.3 验证 $J_0(x)$ 满足零阶Bessel方程。

习题 6.4 利用递推关系证明：$J_1'(x) = J_0(x) - \frac{1}{x}J_1(x)$。

习题 6.5 计算 $\int_{-1}^{1} P_2(x)P_4(x)dx$。

习题 6.6 用Frobenius方法求方程 $xy'' + y' + xy = 0$（零阶Bessel方程）在 $x = 0$ 附近的级数解。

习题 6.1

a) $y = a_0\sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{2k}}{2^k k!} + a_1\sum_{k=0}^{\infty} \frac{2^k k! x^{2k+1}}{(2k+1)!}$
b) $y = C_1x + C_2(1 - x\text{arctanh}x)$ 或级数形式

习题 6.2 直接代入验证。

习题 6.3 直接代入验证。

习题 6.4 利用递推关系 $J_0'(x) = -J_1(x)$ 和 $J_1'(x) = J_0(x) - \frac{1}{x}J_1(x)$。

习题 6.5 0（正交性）

习题 6.6 级数形式即为 $J_0(x)$。

本章主要内容：

• 幂级数解法：适用于解析系数方程在常点附近
  1. 设解为幂级数，代入比较系数
  2. 得到递推关系确定各项系数

• Frobenius方法：适用于正则奇点附近

1. 设解为广义幂级数 $(x-x_0)^r\sum a_n(x-x_0)^n$
2. 指标方程确定 $r$

• Legendre方程与Legendre多项式

1. 在 $n$ 为整数时有多项式解
2. 具有正交性，是重要的特殊函数

• Bessel方程与Bessel函数

1. 在物理和工程中有广泛应用
2. 两类Bessel函数 $J_\nu, Y_\nu$ 构成基本解组

这些特殊函数是数学物理方法中的重要工具。