前两章我们讨论了几类特殊的一阶微分方程的解法。然而，在实际应用中遇到的微分方程往往不能用初等函数表示其解。因此，研究解的存在性和唯一性具有重要的理论意义和实用价值。

本章将介绍Picard逐次逼近法和相关的存在唯一性定理，这是常微分方程理论中最基本也是最重要的结果之一。

在讨论一般理论之前，先看一些例子说明解的存在性和唯一性并非总是成立。

例 3.1 初值问题 $y' = y^{2/3}, y(0) = 0$。

显然 $y = 0$ 是一个解。另外，分离变量得 $3y^{1/3} = x + C$，由 $y(0) = 0$ 得 $C = 0$，所以 $y = (x/3)^3$ 也是解。

更一般地，对任意 $a \geq 0$，函数 $y_a(x) = \begin{cases} 0, & x \leq a \\ \left(\frac{x-a}{3}\right)^3, & x > a \end{cases}$ 都是解。因此该初值问题有无穷多个解！唯一性不成立。

例 3.2 初值问题 $y' = y^2, y(0) = 1$。

分离变量得 $-\frac{1}{y} = x + C$，即 $y = -\frac{1}{x + C}$。

由 $y(0) = 1$ 得 $C = -1$，所以 $y = \frac{1}{1-x}$。

此解只在 $x < 1$ 时有定义，当 $x \to 1^-$ 时 $y \to +\infty$。解在 $x = 1$ 处发生“爆破”(blow-up)。

例 3.3 初值问题 $y' = \frac{y}{x}, y(0) = 1$。

方程在 $x = 0$ 处无定义。实际上，该初值问题无解。

这些例子说明：

• 解可能不存在（例3.3）
• 解可能存在但不唯一（例3.1）
• 解可能只在有限区间上存在（例3.2）

定义 3.1 设函数 $f(x, y)$ 在区域 $D$ 内有定义。如果存在常数 $L > 0$，使得对任意 $(x, y_1), (x, y_2) \in D$，有 $|f(x, y_1) - f(x, y_2)| \leq L|y_1 - y_2|$ 则称 $f$ 在 $D$ 内关于 $y$ 满足Lipschitz条件，$L$ 称为Lipschitz常数。

定理 3.1 若 $f(x, y)$ 在凸区域 $D$ 内关于 $y$ 的偏导数 $\frac{\partial f}{\partial y}$ 有界，即 $|\frac{\partial f}{\partial y}| \leq L$，则 $f$ 在 $D$ 内关于 $y$ 满足Lipschitz条件。

证明： 由微分中值定理，存在 $\xi$ 在 $y_1, y_2$ 之间使得： $|f(x, y_1) - f(x, y_2)| = |\frac{\partial f}{\partial y}(x, \xi)| \cdot |y_1 - y_2| \leq L|y_1 - y_2|$

例 3.4 验证 $f(x, y) = xy$ 在矩形区域 $R: |x| \leq a, |y| \leq b$ 上满足Lipschitz条件。

解： $\frac{\partial f}{\partial y} = x$，在 $R$ 上 $|\frac{\partial f}{\partial y}| = |x| \leq a$。

故满足Lipschitz条件，可取 $L = a$。

例 3.5 $f(x, y) = y^{2/3}$ 在包含 $y = 0$ 的区域上不满足Lipschitz条件。

解： $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{2}{3}y^{-1/3}$，当 $y \to 0$ 时无界。

定理 3.2 (Picard存在唯一性定理) 设函数 $f(x, y)$ 在矩形区域 $R = \{(x, y) : |x - x_0| \leq a, |y - y_0| \leq b\}$ 上连续，且关于 $y$ 满足Lipschitz条件，则初值问题 $\begin{cases} \frac{dy}{dx} = f(x, y) \\ y(x_0) = y_0 \end{cases}$ 在区间 $|x - x_0| \leq h$ 上存在唯一的解，其中 $h = \min\{a, \frac{b}{M}\}, \quad M = \max_{(x,y) \in R} |f(x, y)|$。

第一步：等价积分方程

初值问题等价于积分方程： $y(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t, y(t))dt$

第二步：构造逐次逼近序列

定义序列（Picard迭代）： $\varphi_0(x) = y_0$ $\varphi_{n+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t, \varphi_n(t))dt, \quad n = 0, 1, 2, \ldots$

第三步：证明序列收敛

引理 3.1 对 $|x - x_0| \leq h$，所有 $\varphi_n(x)$ 有定义且满足 $|\varphi_n(x) - y_0| \leq b$。

证明（归纳法）：

• $n = 0$：显然成立
• 假设对 $n = k$ 成立，则

$|\varphi_{k+1}(x) - y_0| = |\int_{x_0}^{x} f(t, \varphi_k(t))dt| \leq M|x - x_0| \leq Mh \leq b$

引理 3.2 序列 $\{\varphi_n(x)\}$ 在 $|x - x_0| \leq h$ 上一致收敛。

证明： 令 $M_n = \max_{|x-x_0|\leq h}|\varphi_{n+1}(x) - \varphi_n(x)|$

可证 $M_n \leq \frac{ML^n h^{n+1}}{(n+1)!}$

由Weierstrass判别法，级数 $\sum M_n$ 收敛，故 $\{\varphi_n\}$ 一致收敛。

第四步：证明极限函数是解

设 $\varphi_n \to \varphi$ 一致收敛。在Picard迭代式中令 $n \to \infty$： $\varphi(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t, \varphi(t))dt$

故 $\varphi$ 是积分方程的解，从而是初值问题的解。

第五步：证明唯一性

设 $\varphi, \psi$ 都是解。令 $d = \max_{|x-x_0|\leq h}|\varphi(x) - \psi(x)|$。

则：$|\varphi(x) - \psi(x)| \leq L\int_{x_0}^{x}|\varphi(t) - \psi(t)|dt \leq Lh \cdot d$

若 $Lh < 1$，则 $d \leq Lh \cdot d$ 推出 $d = 0$。

一般情形需要更精细的估计（Gronwall不等式）。

Picard迭代不仅是证明工具，也是求解初值问题的数值方法。

$\varphi_0(x) = y_0$ $\varphi_{n+1}(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(t, \varphi_n(t))dt$

例 3.6 用Picard迭代求 $y' = y, y(0) = 1$ 的前几项逼近。

解： $\varphi_0(x) = 1$

$\varphi_1(x) = 1 + \int_0^x 1 \cdot dt = 1 + x$

$\varphi_2(x) = 1 + \int_0^x (1 + t)dt = 1 + x + \frac{x^2}{2}$

$\varphi_3(x) = 1 + \int_0^x (1 + t + \frac{t^2}{2})dt = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$

归纳可得： $\varphi_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{x^k}{k!}$

极限为 $\varphi(x) = e^x$，这正是精确解。

例 3.7 用Picard迭代求 $y' = x + y, y(0) = 0$ 的近似解。

解： $\varphi_0(x) = 0$

$\varphi_1(x) = \int_0^x t dt = \frac{x^2}{2}$

$\varphi_2(x) = \int_0^x (t + \frac{t^2}{2})dt = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$

$\varphi_3(x) = \int_0^x (t + \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{6})dt = \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24}$

精确解为 $y = e^x - x - 1$，展开后与上述结果一致。

Picard定理给出的是局部存在性，即解只在 $|x - x_0| \leq h$ 上存在。

问题： 能否将解延拓到更大的区间？

定理 3.3 (解的延拓定理) 设 $f(x, y)$ 在区域 $G$ 内连续且关于 $y$ 满足局部Lipschitz条件，则初值问题的解可以延拓到边界或无穷远。

推论： 若 $f(x, y)$ 在全平面连续，且对任意有界闭集满足Lipschitz条件，则解要么在 $(-\infty, +\infty)$ 上存在，要么在有限区间内趋于无穷。

例 3.8 $y' = y^2, y(0) = 1$ 的解 $y = \frac{1}{1-x}$ 在 $x = 1$ 处有奇点，无法延拓超过 $x = 1$。

实际测量中初值 $y_0$ 往往有误差。问题是：初值的微小变化是否导致解的微小变化？

定理 3.4 在Picard定理的条件下，设 $y = \varphi(x, x_0, y_0)$ 是初值问题 $y' = f(x, y), y(x_0) = y_0$ 的解，则 $\varphi$ 关于 $x_0, y_0$ 是连续的。

更精确地，若 $(\bar{x}_0, \bar{y}_0)$ 充分接近 $(x_0, y_0)$，则对应的解 $\bar{\varphi}(x)$ 在公共存在区间上满足： $|\bar{\varphi}(x) - \varphi(x)| < \varepsilon$

习题 3.1 验证下列函数在给定区域上是否满足Lipschitz条件：

a) $f(x, y) = xy$ 在 $|x| \leq 1, |y| \leq 1$
b) $f(x, y) = \sqrt{y}$ 在 $0 \leq y \leq 1$
c) $f(x, y) = |y|$ 在全平面

习题 3.2 用Picard迭代求下列初值问题的前三项逼近：

a) $y' = x - y, y(0) = 1$
b) $y' = y^2, y(0) = 1$

习题 3.3 讨论初值问题 $y' = \sqrt{|y|}, y(0) = 0$ 解的存在唯一性，并找出所有解。

习题 3.4 设 $f(x, y)$ 在条形区域 $R: a \leq x \leq b, -\infty < y < +\infty$ 上连续，且满足Lipschitz条件。证明：对任意 $x_0 \in [a, b], y_0 \in \mathbb{R}$，初值问题的解在 $[a, b]$ 上存在唯一。

习题 3.5 (Gronwall不等式) 设 $u(x)$ 在 $[x_0, x_1]$ 上非负连续，且满足 $u(x) \leq C + K\int_{x_0}^{x} u(t)dt$ 其中 $C, K \geq 0$ 为常数。证明：$u(x) \leq Ce^{K(x-x_0)}$。

习题 3.1

a) 满足，$L = 1$
b) 不满足（在 $y = 0$ 附近）
c) 满足，$L = 1$

习题 3.2

a) $\varphi_0 = 1, \varphi_1 = 1 - x + \frac{x^2}{2}, \varphi_2 = 1 - x + x^2 - \frac{x^3}{6}$
b) $\varphi_0 = 1, \varphi_1 = 1 + x, \varphi_2 = 1 + x + x^2 + \frac{x^3}{3}$

习题 3.3 不满足唯一性条件，有无穷多解：对任意 $a \geq 0$， $y_a(x) = \begin{cases} 0, & x \leq a \\ \frac{(x-a)^2}{4}, & x > a \end{cases}$

本章核心内容：

• Lipschitz条件：保证唯一性的关键条件
• Picard存在唯一性定理：在 $f$ 连续且满足Lipschitz条件下，初值问题局部存在唯一解
• Picard迭代法：构造解的逐次逼近序列
• 解的延拓：局部解可以延拓到边界
• 连续依赖性：解对初值连续依赖，保证数值计算的稳定性

这些理论结果为常微分方程的数值求解和定性分析奠定了基础。