本章介绍Z变换的基本理论，它是分析离散时间系统和求解差分方程的重要工具，在数字信号处理和控制系统中广泛应用。

对连续信号 $f(t)$ 采样得离散序列 $f(nT)$，$T$ 为采样周期。

对采样信号取拉普拉斯变换，令 $z = e^{sT}$，引出Z变换。

定义 9.1（Z变换） 设 $\{f[n]\}$ 为双边序列（$n = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots$），若级数： $$F(z) = \mathcal{Z}[f[n]] = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f[n]z^{-n}$$

在复变量 $z$ 的某一区域内收敛，则称 $F(z)$ 为 $f[n]$ 的Z变换。

单边Z变换（因果序列）： $$F(z) = \sum_{n=0}^{\infty}f[n]z^{-n}$$

本章主要讨论单边Z变换。

定义 9.2（收敛域ROC） 使Z变换收敛的所有 $z$ 值的集合称为收敛域（Region of Convergence，ROC）。

$$\sum_{n=-\infty}^{\infty}|f[n]z^{-n}| < \infty$$

有限长序列：ROC为整个 $z$ 平面（可能除去 $z = 0$ 或 $\infty$）

右边序列（$f[n] = 0$，$n < n_0$）：ROC为 $|z| > R_1$（某个圆外）

左边序列（$f[n] = 0$，$n > n_0$）：ROC为 $|z| < R_2$（某个圆内）

双边序列：ROC为环形区域 $R_1 < |z| < R_2$（若存在）

$$\delta[n] = \begin{cases} 1, & n = 0 \\ 0, & n \neq 0 \end{cases}$$

$$\mathcal{Z}[\delta[n]] = 1, \quad \text{ROC: 全平面}$$

$$u[n] = \begin{cases} 1, & n \geq 0 \\ 0, & n < 0 \end{cases}$$

$$\mathcal{Z}[u[n]] = \sum_{n=0}^{\infty}z^{-n} = \frac{1}{1-z^{-1}} = \frac{z}{z-1}, \quad |z| > 1$$

$$\mathcal{Z}[a^nu[n]] = \sum_{n=0}^{\infty}(az^{-1})^n = \frac{1}{1-az^{-1}} = \frac{z}{z-a}, \quad |z| > |a|$$

$$\mathcal{Z}[nu[n]] = -z\frac{d}{dz}\left(\frac{z}{z-1}\right) = \frac{z}{(z-1)^2}, \quad |z| > 1$$

一般地： $$\mathcal{Z}[n^k u[n]]$$

可用递推或高阶导数求得。

由 $\mathcal{Z}[e^{i\omega_0 n}u[n]] = \frac{z}{z-e^{i\omega_0}}$，分离实部和虚部：

$$\mathcal{Z}[\cos(\omega_0 n)u[n]] = \frac{z(z-\cos\omega_0)}{z^2-2z\cos\omega_0+1}$$

$$\mathcal{Z}[\sin(\omega_0 n)u[n]] = \frac{z\sin\omega_0}{z^2-2z\cos\omega_0+1}$$

$$\mathcal{Z}[\alpha f[n] + \beta g[n]] = \alpha F(z) + \beta G(z)$$

ROC包含原ROC的交集。

右移（延迟）： $$\mathcal{Z}[f[n-k]u[n-k]] = z^{-k}F(z)$$

左移（超前）： $$\mathcal{Z}[f[n+k]u[n]] = z^k\left[F(z) - \sum_{m=0}^{k-1}f[m]z^{-m}\right]$$

特别地： $$\mathcal{Z}[f[n+1]u[n]] = zF(z) - zf[0]$$

$$\mathcal{Z}[a^n f[n]] = F\left(\frac{z}{a}\right)$$

$$\mathcal{Z}[f[-n]] = F(z^{-1})$$

$$\mathcal{Z}[f[n/k]] = F(z^k)$$（$n$ 是 $k$ 的倍数）

$$\mathcal{Z}[nf[n]] = -z\frac{d}{dz}F(z)$$

定义（离散卷积）： $$f[n] * g[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty}f[k]g[n-k]$$

对于因果序列： $$f[n] * g[n] = \sum_{k=0}^{n}f[k]g[n-k]$$

定理 9.1（卷积定理） $$\mathcal{Z}[f[n] * g[n]] = F(z)G(z)$$

初值定理： $$f[0] = \lim_{z \to \infty}F(z)$$

终值定理： 若 $(1-z^{-1})F(z)$ 的ROC包含单位圆： $$\lim_{n \to \infty}f[n] = \lim_{z \to 1}(1-z^{-1})F(z) = \lim_{z \to 1}(z-1)F(z)$$

将 $F(z)$ 展开为 $z^{-1}$ 的幂级数，系数即为 $f[n]$。

例：$F(z) = \frac{z}{z-a} = \frac{1}{1-az^{-1}} = 1 + az^{-1} + a^2z^{-2} + \cdots$

所以 $f[n] = a^n u[n]$。

将 $\frac{F(z)}{z}$ 展开为部分分式，再乘以 $z$，利用已知变换对。

例：$F(z) = \frac{z^2}{(z-1)(z-2)}$，$|z| > 2$

$$\frac{F(z)}{z} = \frac{z}{(z-1)(z-2)} = \frac{-1}{z-1} + \frac{2}{z-2}$$

$$F(z) = \frac{-z}{z-1} + \frac{2z}{z-2}$$

$$f[n] = -u[n] + 2 \cdot 2^n u[n] = (2^{n+1} - 1)u[n]$$

$$f[n] = \frac{1}{2\pi i}\oint_C F(z)z^{n-1}dz = \sum_{k}\text{Res}[F(z)z^{n-1}, z_k]$$

形式： $$\sum_{k=0}^{N}a_k y[n-k] = \sum_{k=0}^{M}b_k x[n-k]$$

取Z变换（设初始条件为零）： $$Y(z)\sum_{k=0}^{N}a_k z^{-k} = X(z)\sum_{k=0}^{M}b_k z^{-k}$$

系统函数： $$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{k=0}^{M}b_k z^{-k}}{\sum_{k=0}^{N}a_k z^{-k}}$$

• 对差分方程两边取Z变换
• 代入初始条件，解出 $Y(z)$
• 求逆Z变换得 $y[n]$

例9.1 求解：$y[n] - \frac{1}{2}y[n-1] = u[n]$，$y[-1] = 0$

解：取Z变换： $$Y(z) - \frac{1}{2}z^{-1}Y(z) = \frac{z}{z-1}$$

$$Y(z) = \frac{z}{z-1} \cdot \frac{1}{1-\frac{1}{2}z^{-1}} = \frac{z^2}{(z-1)(z-\frac{1}{2})}$$

部分分式： $$\frac{Y(z)}{z} = \frac{z}{(z-1)(z-\frac{1}{2})} = \frac{2}{z-1} - \frac{1}{z-\frac{1}{2}}$$

$$Y(z) = \frac{2z}{z-1} - \frac{z}{z-\frac{1}{2}}$$

$$y[n] = 2u[n] - \left(\frac{1}{2}\right)^n u[n] = \left(2 - 2^{-n}\right)u[n]$$

令 $z = e^{i\omega}$（单位圆上），得频率响应： $$H(e^{i\omega}) = H(z)\big|_{z=e^{i\omega}}$$

定理 9.2（BIBO稳定性） 离散时间系统BIBO稳定的充要条件是 $H(z)$ 的所有极点都在单位圆内。

例9.2 求 $\mathcal{Z}[n^2 u[n]]$。

解： $$\mathcal{Z}[nu[n]] = \frac{z}{(z-1)^2}$$

$$\mathcal{Z}[n^2 u[n]] = -z\frac{d}{dz}\left(\frac{z}{(z-1)^2}\right) = -z \cdot \frac{(z-1)^2 - 2z(z-1)}{(z-1)^4}$$

$$= -z \cdot \frac{z-1-2z}{(z-1)^3} = \frac{z(z+1)}{(z-1)^3}$$

—

例9.3 求 $\mathcal{Z}^{-1}\left[\frac{z}{z^2+3z+2}\right]$。

解： $$\frac{F(z)}{z} = \frac{1}{(z+1)(z+2)} = \frac{1}{z+1} - \frac{1}{z+2}$$

$$F(z) = \frac{z}{z+1} - \frac{z}{z+2}$$

$$f[n] = (-1)^n u[n] - (-2)^n u[n] = [(-1)^n - (-2)^n]u[n]$$

一、基础练习

1. 求下列序列的Z变换：

(a) $f[n] = \left(\frac{1}{3}\right)^n u[n]$

(b) $f[n] = n(n-1)u[n]$

© $f[n] = \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)u[n]$

2. 求下列Z变换的逆变换：

(a) $F(z) = \frac{1}{z-2}$，$|z| > 2$

(b) $F(z) = \frac{z}{(z-1)(z-2)}$，$|z| > 2$

© $F(z) = \frac{z^2}{(z-\frac{1}{2})^2}$，$|z| > \frac{1}{2}$

3. 用Z变换求解下列差分方程：

(a) $y[n] - 3y[n-1] + 2y[n-2] = u[n]$，$y[-1] = y[-2] = 0$

(b) $y[n+2] - y[n] = 2^n$，$y[0] = 0$，$y[1] = 1$

二、思考题

4. 证明：若 $f[n]$ 是实序列，则 $F(z^*) = F^*(z)$。

5. 设 $f[n]$ 的自相关函数为 $R_f[k] = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f[n]f[n+k]$，证明其Z变换为 $R_f(z) = F(z)F(z^{-1})$。

6. 利用终值定理，确定下列 $F(z)$ 的终值是否存在，若存在求出：

(a) $F(z) = \frac{z}{z-0.5}$

(b) $F(z) = \frac{z}{z-2}$

© $F(z) = \frac{z^2}{(z-1)^2}$

三、应用题

7. 数字滤波器的差分方程为：$y[n] - \frac{5}{6}y[n-1] + \frac{1}{6}y[n-2] = x[n]$，求系统函数 $H(z)$，并判断系统稳定性。

8. 求解卷积：$a^n u[n] * b^n u[n]$（$a \neq b$）。

• Z变换是离散时间系统的拉普拉斯变换对应
• 收敛域的概念对确定逆变换至关重要
• 时移性质使差分方程求解变得简单
• 卷积定理将时域卷积转化为Z域乘积
• 稳定性判据（极点在单位圆内）是系统设计的重要依据

下章预告：第十章开始介绍特殊函数，首先是常微分方程的级数解法。