这是本文档旧的修订版！
202606162300
进制
| 进制 | 数码 | 基数 | 位权 |
| 二进制(B) | 0,1 | 2 | $2^k$ |
| 八进制(O) | 0,1,2,3,4,5,6,7 | 8 | $8^k$ |
| 十进制(D) | 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 | 10 | $10^k$ |
| 十六进制(H) | 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F | 16 | $16^k$ |
位权：数字中每个位置对应的单位值。
十进制与其他进制之间的转换
1）其他进制转十进制
R进制数：$X_{m-1}··· X_{0} X_{-1}··· X_{-n} = \Sigma_{k=-n}^{k=m-1} X_{k} R^{k} $
例如二进制：$101.01=1 \times 2^2+1 \times 2^0+1 \times 2^{-2}=5.25$
2) 十进制转其他进制
| 位置 | 整数部分：连除取余法 | 小数部分：连乘取整法 |
| 表示 | $N = (d_{m-1} \cdots d_1 d_0)_R$ | $F = (0.d_{-1} d_{-2} \cdots d_{-n})_R$ |
| d值 | 其中每一位由连续除以R的余数决定 | 其中每一位由连续乘以R的整数部分决定 |
| 公式 | $N_0 = N$ $N_{i+1} = \lfloor N_i / R \rfloor \quad (i = 0,1,2,\cdots) $ $d_i = N_i \bmod R \quad \text{(余数，取值范围 } 0 \sim R-1\text{)}$ | $F_0 = F \quad \text{(纯小数部分)} $ $F_{i+1} = \text{frac}(F_i \times R) \quad \text{(取小数部分继续)} $ $d_{-i} = \lfloor F_i \times R \rfloor \quad \text{(乘积的整数部分，作为下一位)}$ |
| 停止条件 | 当 $N_{i+1} = 0 $时停止，最后得到的余数 $d_{m-1}$ 作为最高位。 | 精确转换：当 F_{i+1} = 0 时停止（小数部分乘尽） 近似转换：达到所需精度位数时停止（如保留 n 位小数） |
| 示例 | 十进制 19 转二进制 (R=2) 19 ÷ 2 = 9 余 1 $(d_0)$ 9 ÷ 2 = 4 余 1 $(d_1)$ 4 ÷ 2 = 2 余 0 $(d_2)$ 2 ÷ 2 = 1 余 0 $(d_3)$ 1 ÷ 2 = 0 余 1 $(d_4)$ 停止 结果： $(10011)_2$ | 十进制 0.625 转二进制 (R=2) 0.625 × 2 = 1.25 → 整数部分 1 $(d_{-1})$，剩余 0.25 0.25 × 2 = 0.5 → 整数部分 0 $(d_{-2})$，剩余 0.5 0.5 × 2 = 1.0 → 整数部分 1 $(d_{-3})$，剩余 0.0 停止 结果： $(0.101)_2$ |
若数含整数部分 N 和小数部分 F，则：
$(N.F)_{10} = (N)_{10} \text{转} R \quad + \quad (0.F)_{10} \text{转} R$
两部分分别转换，最后用小数点拼接。
示例： 19.625 转二进制 = $(10011)_2 + (0.101)_2 = (10011.101)_2 $
特殊情况：无限循环
有些十进制小数无法精确转换成二进制（如 0.1），会形成循环：
$0.1_{10} = (0.000110011001100\cdots)_2 = (0.0\overline{0011})_2$
此时按精度要求截断即可。
二、八、十六进制之间的转换
| 转换方向 | 方法 | 示例 |
|---|---|---|
| 二进制 → 八进制 | 整数部分从右往左，小数部分从左往右，每 3 位一组，不足补 0， 每组换 1 位八进制 | (10 111 101.010 1)₂ = (275.24)₈ |
| 八进制 → 二进制 | 每位八进制数展开成 3 位二进制（高位补 0） | (275.24)₈ = (010 111 101.010 100)₂ |
| 二进制 → 十六进制 | 整数部分从右往左，小数部分从左往右，每 4 位一组，不足补 0， 每组换 1 位十六进制 | (1011 1101.0101)₂ = (BD.5)₁₆ |
| 十六进制 → 二进制 | 每位十六进制数展开成 4 位二进制（高位补 0） | (BD.5)₁₆ = (1011 1101.0101)₂ |
| 八进制 ↔ 十六进制 | 以二进制为桥梁：八进制→二进制→十六进制（反之亦然） | (275)₈ → (010111101)₂ → (0BD)₁₆ = (BD)₁₆ |
含符号数值的表示
| 码制 | 转换规则 | -25 | +25 | 特点 | 主要用途 |
|---|---|---|---|---|---|
| 原码 | 符号位(最左一位)：0正1负 数值位：真值的绝对值 | 10011001 | 00011001 | 0有+0和-0两种表示 | 人类直观理解， 用于输入输出显示，不参与运算 |
| 反码 | 正数：同原码 负数：符号位不变，数值位按位取反 | 11100110 | 00011001 | 0有两种表示，加减需循环进位 | 中间过渡桥梁 补码的中间步骤，现代计算机不用 |
| 补码 | 正数：同原码 负数：反码末位+1（符号位不变） | 11100111 | 00011001 | 计算机实际使用， 0唯一，减法统一为加法 | 整数运算核心 CPU中的整数都用补码表示和计算 |
| 移码 | 补码符号位取反 （数值位不变） | 01100111 | 10011001 | 便于浮点数阶码比较，0唯一 | 浮点数阶码 便于比较指数大小（IEEE 754标准使用） |
以 8位补码 计算 10 - 25 = -15 为例，走一遍完整的二进制演算过程：
第1步：找 +10 的补码
+10 是正数，补码 = 原码 = 00001010
第2步：找 -25 的补码（核心）
· +25 的原码：00011001
· 取反得反码：11100110
· 末位 +1 得补码：11100111（这就是 -25 的补码表示）
第3步：执行加法（CPU 实际做的事）
00001010 （+10） + 11100111 （-25 的补码） ──────────── 11110001 （结果补码）
第4步：将结果补码转回十进制（验证）
· 结果 11110001，符号位为 1（负数）
· 末位 -1 得反码：11110000
· 取反得原码：10001111（符号位1不变，数值位 0001111 = 15）
· 所以结果是 -15 ✅
额外观察：溢出处理
这次计算中，最高位（第8位）没有产生进位，所以结果是正确的。
如果计算 125 + 125 = 250（超出127范围）：
01111101 (+125) + 01111101 (+125) ──────────── 11111010 (结果为 -6 ❌ 溢出错误)
符号位从 0 变成 1，产生了溢出，CPU 的溢出标志位（OF） 会置1提醒。
±0的表示
| 码制 | +0 的表示 | -0 的表示 | 是否唯一 |
|---|---|---|---|
| 原码 | 00000000 | 10000000 | 不唯一 ❌ |
| 反码 | 00000000 | 11111111 | 不唯一 ❌ |
| 补码 | 00000000 | 00000000 | 唯一 ✅ |
| 移码 | 10000000 | 10000000 | 唯一 ✅ |
表示范围
| 码制 | 表示范围（8位） | 表示范围（n位） | 特殊说明 |
|---|---|---|---|
| 原码 | $-(2^7 - 1) ~ +(2^7 - 1) $ -127 ~ +127 | $-(2^{n-1} - 1) ~ +(2^{n-1} - 1) $ | +0 和 -0 占两个编码，对称分布 |
| 反码 | $-(2^7 - 1) ~ +(2^7 - 1) $ -127 ~ +127 | $-(2^{n-1} - 1) ~ +(2^{n-1} - 1) $ | +0 和 -0 占两个编码，对称分布 |
| 补码 | $-2^7 ~ +(2^7 - 1) $ -128 ~ +127 | $-2^{n-1} ~ +(2^{n-1} - 1) $ | 多表示一个最小负数（如 -128），0唯一 |
| 移码 | $-2^7 ~ +(2^7 - 1) $ -128 ~ +127 | $ -2^{n-1} ~ +(2^{n-1} - 1) $ | 0唯一，便于浮点数阶码比较 |
因为 补码和移码0唯一，没有100000000这个数，所以人为规定-128为100000000。
张叶安