进制

进制	数码	基数	位权
二进制(B)	0,1	2	$2^k$
八进制(O)	0,1,2,3,4,5,6,7	8	$8^k$
十进制(D)	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9	10	$10^k$
十六进制(H)	0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F	16	$16^k$

位权：数字中每个位置对应的单位值。

1）其他进制转十进制

R进制数：$X_{m-1}··· X_{0} X_{-1}··· X_{-n} = \Sigma_{k=-n}^{k=m-1} X_{k} R^{k} $

例如二进制：$101.01=1 \times 2^2+1 \times 2^0+1 \times 2^{-2}=5.25$

2) 十进制转其他进制

位置	整数部分：连除取余法	小数部分：连乘取整法
表示	$N = (d_{m-1} \cdots d_1 d_0)_R$	$F = (0.d_{-1} d_{-2} \cdots d_{-n})_R$
d值	其中每一位由连续除以R的余数决定	其中每一位由连续乘以R的整数部分决定
公式	$N_0 = N$ $N_{i+1} = \lfloor N_i / R \rfloor \quad (i = 0,1,2,\cdots) $ $d_i = N_i \bmod R \quad \text{(余数，取值范围 } 0 \sim R-1\text{)}$	$F_0 = F \quad \text{(纯小数部分)} $ $F_{i+1} = \text{frac}(F_i \times R) \quad \text{(取小数部分继续)} $ $d_{-i} = \lfloor F_i \times R \rfloor \quad \text{(乘积的整数部分，作为下一位)}$
停止条件	当 $N_{i+1} = 0 $时停止，最后得到的余数 $d_{m-1}$ 作为最高位。	精确转换：当 F_{i+1} = 0 时停止（小数部分乘尽）近似转换：达到所需精度位数时停止（如保留 n 位小数）
示例	十进制 19 转二进制 (R=2) 19 ÷ 2 = 9 余 1 $(d_0)$ 9 ÷ 2 = 4 余 1 $(d_1)$ 4 ÷ 2 = 2 余 0 $(d_2)$ 2 ÷ 2 = 1 余 0 $(d_3)$ 1 ÷ 2 = 0 余 1 $(d_4)$ 停止结果： $(10011)_2$	十进制 0.625 转二进制 (R=2) 0.625 × 2 = 1.25 → 整数部分 1 $(d_{-1})$，剩余 0.25 0.25 × 2 = 0.5 → 整数部分 0 $(d_{-2})$，剩余 0.5 0.5 × 2 = 1.0 → 整数部分 1 $(d_{-3})$，剩余 0.0 停止结果： $(0.101)_2$

若数含整数部分 N 和小数部分 F，则：

$(N.F)_{10} = (N)_{10} \text{转} R \quad + \quad (0.F)_{10} \text{转} R$

两部分分别转换，最后用小数点拼接。

示例： 19.625 转二进制 = $(10011)_2 + (0.101)_2 = (10011.101)_2 $

特殊情况：无限循环

有些十进制小数无法精确转换成二进制（如 0.1），会形成循环：

$0.1_{10} = (0.000110011001100\cdots)_2 = (0.0\overline{0011})_2$

此时按精度要求截断即可。

转换方向	方法	示例
二进制 → 八进制	整数部分从右往左，小数部分从左往右，每 3 位一组，不足补 0，每组换 1 位八进制	(10 111 101.010 1)₂ = (275.24)₈
八进制 → 二进制	每位八进制数展开成 3 位二进制（高位补 0）	(275.24)₈ = (010 111 101.010 100)₂
二进制 → 十六进制	整数部分从右往左，小数部分从左往右，每 4 位一组，不足补 0，每组换 1 位十六进制	(1011 1101.0101)₂ = (BD.5)₁₆
十六进制 → 二进制	每位十六进制数展开成 4 位二进制（高位补 0）	(BD.5)₁₆ = (1011 1101.0101)₂
八进制 ↔ 十六进制	以二进制为桥梁：八进制→二进制→十六进制（反之亦然）	(275)₈ → (010111101)₂ → (0BD)₁₆ = (BD)₁₆

码制	转换规则	-25	+25	特点	主要用途
原码	符号位(最左一位)：0正1负数值位：真值的绝对值	10011001	00011001	0有+0和-0两种表示	人类直观理解，用于输入输出显示，不参与运算
反码	正数：同原码负数：符号位不变，数值位按位取反	11100110	00011001	0有两种表示，加减需循环进位	中间过渡桥梁补码的中间步骤，现代计算机不用
补码	正数：同原码负数：反码末位+1（符号位不变）	11100111	00011001	计算机实际使用， 0唯一，减法统一为加法	整数运算核心 CPU中的整数都用补码表示和计算
移码	补码符号位取反（数值位不变）	01100111	10011001	便于浮点数阶码比较，0唯一	浮点数阶码便于比较指数大小（IEEE 754标准使用）

码制	+0 的表示	-0 的表示	是否唯一
原码	00000000	10000000	不唯一 ❌
反码	00000000	11111111	不唯一 ❌
补码	00000000	00000000	唯一 ✅
移码	10000000	10000000	唯一 ✅

码制	表示范围（8位）	表示范围（n位）	特殊说明
原码	$-(2^7 - 1) ~ +(2^7 - 1) $ -127 ~ +127	$-(2^{n-1} - 1) ~ +(2^{n-1} - 1) $	+0 和 -0 占两个编码，对称分布
反码	$-(2^7 - 1) ~ +(2^7 - 1) $ -127 ~ +127	$-(2^{n-1} - 1) ~ +(2^{n-1} - 1) $	+0 和 -0 占两个编码，对称分布
补码	$-2^7 ~ +(2^7 - 1) $ -128 ~ +127	$-2^{n-1} ~ +(2^{n-1} - 1) $	多表示一个最小负数（如 -128），0唯一
移码	$-2^7 ~ +(2^7 - 1) $ -128 ~ +127	$ -2^{n-1} ~ +(2^{n-1} - 1) $	0唯一，便于浮点数阶码比较

因为补码和移码0唯一，没有100000000这个数，所以人为规定-128为100000000。

	教学模型	IEEE 755标准
公式	$N=数符 * 尾数m * 2^{阶符*阶码e}$	$N = (-1)^S \times (1.M) \times 2^{E - bias}$
讲解	数符+、- 尾数m 以0开头阶符+、- 阶码即指数	S = 数符（0正1负） M = 尾数的小数部分（只存小数点后的位） E = 存储指数（8位或11位无符号整数） bias = 偏移量（单精度127，双精度1023）

其中：

原数	标准	数符(S)	尾数(M)	阶符	存储指数(E)	完整二进制存储
$0.1011 \times 2^{011}$	教学模型	+（存0）	0.1011（存 `1011`）	+（存0）	011（真实指数 3）	``0 0 011 1011``
$0.1011 \times 2^{011}$	IEEE 754	0	1.011（隐含前导1，存 `011`）	无	10000010（3+127=130）	``0 10000010 01100000000000000000000``

对阶(小阶向大阶靠齐) → 尾数计算 → 结果格式化

计算：$0.101 \times 2^{001} + 0.110 \times 2^{011}$

第一步：对阶

第一个数指数是 001（1），第二个数指数是 011（3），阶差 = 3 - 1 = 2。

小阶向大阶靠齐，第一个数尾数右移 2 位：

0.101 » 2 = 0.00101

对阶后：

$0.00101 × 2^{011}$

$0.110 × 2^{011}$

第二步：尾数相加

  0.00101
+ 0.11000（补0对齐）
---------
  0.11101

第三步：结果格式化

尾数 0.11101 整数位为 0，最高位为 1，已经是规格化纯小数，无需调整。

最终结果：$0.11101 × 2^{011}$

验证：

$0.101 × 2^1 = 0.625 × 2 = 1.25$

$0.110 × 2^3 = 0.75 × 8 = 6$

$1.25 + 6 = 7.25$

$0.11101 × 2^3 = 0.90625 × 8 = 7.25 $

转分数形式 → 分子转二进制 → 分子部分尾数右移 → 添加符号位 → 补足位数

计算：-13.625

第一步：转分数形式
13.625 = 109/8
分子：109，分母：8（分母为 2^n）

第二步：分子转二进制
109 ÷ 2 = 54 余 1
54 ÷ 2 = 27 余 0
27 ÷ 2 = 13 余 1
13 ÷ 2 = 6 余 1
6 ÷ 2 = 3 余 0
3 ÷ 2 = 1 余 1
1 ÷ 2 = 0 余 1
109₁₀ = 1101101₂

第三步：除以分母（右移 n 位）
分母 8 = 2³，分子右移 3 位
1101101₂ 右移 3 位 = 1101.101₂
规格化成教学模型格式（尾数为纯小数）：
1101.101 = 0.1101101 × 2⁴

第四步：填入教学模型公式 N = 数符 × 尾数 × 2^{阶符 × 阶码}
数符：-（负号）
尾数：0.1101101
阶符：+（指数为正）
阶码：100（指数为4）

第五步：补足位数（假设8位存储：1位数符 + 1位阶符 + 3位阶码 + 3位尾数）
数符：1（负）
阶符：0（正）
阶码：100
尾数：110（只存小数部分，截断到3位）
完整存储：1 0 100 110