定义11.1.1（弱导数）

设 $u, v \in L_{loc}^1(\Omega)$，若对任意 $\varphi \in C_c^\infty(\Omega)$： $$\int_\Omega u D^\alpha\varphi dx = (-1)^{|\alpha|}\int_\Omega v\varphi dx$$

则称 $v$ 为 $u$ 的 $\alpha$ 阶弱导数，记为 $D^\alpha u = v$。

例11.1：$u(x) = |x|$ 在 $\mathbb{R}$ 上，弱导数为 $\text{sgn}(x)$。

例11.2：$u(x) = \max(x,0)$，弱导数为Heaviside函数 $H(x)$。

定义11.2.1（$W^{k,p}$空间）

$$W^{k,p}(\Omega) = \{u \in L^p(\Omega) : D^\alpha u \in L^p(\Omega), \forall |\alpha| \leq k\}$$

范数： $$\|u\|_{W^{k,p}} = \left(\sum_{|\alpha| \leq k}\|D^\alpha u\|_{L^p}^p\right)^{1/p}, \quad 1 \leq p < \infty$$

$$\|u\|_{W^{k,\infty}} = \max_{|\alpha| \leq k}\|D^\alpha u\|_{L^\infty}$$

Hilbert空间情形（$p=2$）：$H^k(\Omega) = W^{k,2}(\Omega)$，内积 $$(u,v)_{H^k} = \sum_{|\alpha| \leq k}\int_\Omega D^\alpha u \cdot D^\alpha v dx$$

定理11.3.1（完备性）

$W^{k,p}(\Omega)$ 是Banach空间，$H^k(\Omega)$ 是Hilbert空间。

定理11.3.2（逼近）

$C^\infty(\Omega) \cap W^{k,p}(\Omega)$ 在 $W^{k,p}(\Omega)$ 中稠密（$1 \leq p < \infty$）。

定义11.3.1（$W_0^{k,p}$）

$C_c^\infty(\Omega)$ 在 $W^{k,p}(\Omega)$ 中的闭包，即具有紧支集的函数逼近。

定理11.4.1（Sobolev嵌入）

设 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 有界开集，$\partial\Omega$ 光滑。

1. 若 $k < \frac{n}{p}$，则 $W^{k,p}(\Omega) \hookrightarrow L^q(\Omega)$，其中 $\frac{1}{q} = \frac{1}{p} - \frac{k}{n}$
2. 若 $k > \frac{n}{p}$，则 $W^{k,p}(\Omega) \hookrightarrow C^{m,\alpha}(\bar{\Omega})$，其中 $m = k - [\frac{n}{p}] - 1$

定理11.4.2（紧嵌入Rellich-Kondrachov）

在上述条件下，嵌入是紧的（有界集相对紧）。

问题：$W^{1,p}$ 函数在边界上是否有意义？

定理11.5.1（迹定理）

存在有界线性算子（迹算子）$\gamma: W^{1,p}(\Omega) \to L^p(\partial\Omega)$，使得对 $u \in C(\bar{\Omega})$： $$\gamma u = u|_{\partial\Omega}$$

核：$\ker(\gamma) = W_0^{1,p}(\Omega)$

定理11.6.1（Poincaré不等式）

设 $\Omega$ 有界，$1 \leq p < \infty$，则存在 $C$： $$\|u\|_{L^p} \leq C\|\nabla u\|_{L^p}, \quad \forall u \in W_0^{1,p}(\Omega)$$

等价范数：在 $W_0^{1,p}$ 上，$\|\nabla u\|_{L^p}$ 与 $\|u\|_{W^{1,p}}$ 等价。

定理11.6.2（Poincaré-Friedrichs）

若 $\Gamma \subset \partial\Omega$ 有正测度，$u|_\Gamma = 0$，则上述不等式成立。

定义11.7.1（负指数空间）

$H^{-k}(\Omega) = (H_0^k(\Omega))^*$

例：Delta函数 $\delta \in H^{-s}(\mathbb{R}^n)$（$s > n/2$）。

习题11.1：证明 $u(x) = \ln\ln\frac{1}{|x|}$ 属于 $W^{1,n}$（$n \geq 2$，在原点附近）。

习题11.2：验证Sobolev范数满足三角不等式。

习题11.3：设 $\Omega = (0,1)$，$u(x) = x^\alpha$，求使 $u \in H^1(\Omega)$ 的 $\alpha$ 范围。

习题11.4：证明Poincaré不等式在 $W_0^{1,p}(a,b)$ 中的形式：$\|u\|_{L^p} \leq (b-a)\|u'\|_{L^p}$。

习题11.5：证明 $H^s(\mathbb{R}^n)$ 与 $H^{-s}(\mathbb{R}^n)$ 通过Fourier变换对偶。

习题11.6：设 $u \in H^1(\mathbb{R}^n)$，证明 $\|u\|_{L^{2^*}} \leq C\|\nabla u\|_{L^2}$，其中 $2^* = \frac{2n}{n-2}$（Sobolev不等式）。