基本假设：解可以表示为各变量函数的乘积： $$u(x, t) = X(x)T(t)$$

或对于高维：$u(x, y, z, t) = X(x)Y(y)Z(z)T(t)$

基本步骤： 1. 假设分离变量形式代入PDE 2. 分离得到各变量的常微分方程 3. 结合边界条件求解特征值问题 4. 叠加得到一般解 5. 利用初始条件确定系数

问题：$u_t = a^2 u_{xx}$，$0 < x < L$，$t > 0$

边界条件：$u(0,t) = u(L,t) = 0$

初始条件：$u(x,0) = \varphi(x)$

求解过程：

设 $u = X(x)T(t)$，代入得： $$X T' = a^2 X'' T \Rightarrow \frac{T'}{a^2 T} = \frac{X''}{X} = -\lambda$$

得到两个ODE：

1. $X'' + \lambda X = 0$，$X(0) = X(L) = 0$
2. $T' + a^2\lambda T = 0$

特征值问题：

由边界条件，$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2$，$X_n(x) = \sin\frac{n\pi x}{L}$，$n = 1, 2, 3, \ldots$

时间部分：$T_n(t) = e^{-a^2\lambda_n t} = e^{-\left(\frac{n\pi a}{L}\right)^2 t}$

一般解： $$u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty c_n e^{-\left(\frac{n\pi a}{L}\right)^2 t}\sin\frac{n\pi x}{L}$$

确定系数： $$c_n = \frac{2}{L}\int_0^L \varphi(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx$$

问题：$u_{tt} = a^2 u_{xx}$，$u(0,t) = u(L,t) = 0$

初始条件：$u(x,0) = \varphi(x)$，$u_t(x,0) = \psi(x)$

特征值：与热方程相同，$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{L}\right)^2$

时间方程：$T'' + a^2\lambda_n T = 0$

解：$T_n(t) = A_n\cos\frac{n\pi a t}{L} + B_n\sin\frac{n\pi a t}{L}$

一般解： $$u(x,t) = \sum_{n=1}^\infty \left(A_n\cos\frac{n\pi a t}{L} + B_n\sin\frac{n\pi a t}{L}\right)\sin\frac{n\pi x}{L}$$

系数： $$A_n = \frac{2}{L}\int_0^L \varphi(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx$$ $$B_n = \frac{2}{n\pi a}\int_0^L \psi(x)\sin\frac{n\pi x}{L}dx$$

问题：$u_{xx} + u_{yy} = 0$，$0 < x < a$，$0 < y < b$

边界条件：$u(0,y) = u(a,y) = 0$，$u(x,0) = 0$，$u(x,b) = f(x)$

分离变量：设 $u = X(x)Y(y)$

$$\frac{X''}{X} = -\frac{Y''}{Y} = -\lambda$$

$x$方向特征值：$\lambda_n = \left(\frac{n\pi}{a}\right)^2$，$X_n = \sin\frac{n\pi x}{a}$

$Y$的方程：$Y'' - \lambda_n Y = 0$，解为 $Y_n = A_n\cosh\frac{n\pi y}{a} + B_n\sinh\frac{n\pi y}{a}$

由 $Y(0) = 0$ 得 $A_n = 0$，故： $$u(x,y) = \sum_{n=1}^\infty B_n\sinh\frac{n\pi y}{a}\sin\frac{n\pi x}{a}$$

由 $u(x,b) = f(x)$： $$B_n = \frac{2}{a\sinh\frac{n\pi b}{a}}\int_0^a f(x)\sin\frac{n\pi x}{a}dx$$

极坐标：$u_{rr} + \frac{1}{r}u_r + \frac{1}{r^2}u_{\theta\theta} = 0$

分离变量：设 $u = R(r)\Theta(\theta)$

$$\frac{r^2 R'' + rR'}{R} = -\frac{\Theta''}{\Theta} = \lambda$$

角向方程：$\Theta'' + \lambda\Theta = 0$，周期条件 $\Theta(\theta + 2\pi) = \Theta(\theta)$

特征值：$\lambda_n = n^2$，$n = 0, 1, 2, \ldots$

特征函数：$\Theta_n = A_n\cos n\theta + B_n\sin n\theta$

径向方程（Euler方程）：$r^2R'' + rR' - n^2R = 0$

解：$R_0 = C_0 + D_0\ln r$，$R_n = C_n r^n + D_n r^{-n}$（$n \geq 1$）

有界性要求 $D_n = 0$（$n \geq 0$）。

Poisson公式： $$u(r,\theta) = \frac{a^2-r^2}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{f(\varphi)}{a^2-2ar\cos(\theta-\varphi)+r^2}d\varphi$$

6.6.1 非齐次方程

方法：特征函数展开（Fourier方法）

设 $u(x,t) = \sum_n T_n(t)X_n(x)$，$f(x,t) = \sum_n f_n(t)X_n(x)$

对每个模态得到ODE：$T_n'(t) + a^2\lambda_n T_n = f_n(t)$

6.6.2 非齐次边界条件

方法：引入辅助函数化为齐次

例如：$u(0,t) = g(t)$，$u(L,t) = h(t)$

令 $v = u - \left[g(t) + \frac{x}{L}(h(t)-g(t))\right]$

习题6.1：用分离变量法求解 $u_t = u_{xx}$，$u(0,t) = u(\pi,t) = 0$，$u(x,0) = \sin x + 2\sin 3x$。

习题6.2：求解 $u_{tt} = u_{xx}$，$u(0,t) = u(\pi,t) = 0$，$u(x,0) = x(\pi-x)$，$u_t(x,0) = 0$。

习题6.3：求解矩形区域上的Laplace方程，边界条件为 $u(0,y) = u(a,y) = u(x,0) = 0$，$u(x,b) = \sin\frac{\pi x}{a}$。

习题6.4：用分离变量法求解圆环 $a < r < b$ 上的Laplace方程，边界条件 $u(a,\theta) = 0$，$u(b,\theta) = \sin\theta$。

习题6.5：求解非齐次热方程 $u_t = u_{xx} + x$，边界条件 $u(0,t) = u(1,t) = 0$，初始条件 $u(x,0) = 0$。

习题6.6：证明分离变量法得到的解在 $t > 0$ 时是光滑的（热方程情形）。