欧几里得空间 (Euclidean Space)

实数系 $\mathbf{R}$ 的 $n$ 重积定义为 $n$ 维实 欧几里得空间： $$ \mathbf{R}^n = \{(x_1, x_2, \dots, x_n) : x_i \in \mathbf{R} \} $$ 其中 $\mathbf{0} = (0, \dots, 0)$ 为原点。

$\mathbf{R}^n$ 具备向量空间结构。

对于 $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in \mathbf{R}^n, \alpha \in \mathbf{R}$：

• 加法: $\mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_1 + y_1, \dots, x_n + y_n)$
• 数乘: $\alpha \mathbf{x} = (\alpha x_1, \dots, \alpha x_n)$

运算性质 :

• 加法结合律、交换律
• 存在零元 $\mathbf{0}$ 和负元 $-\mathbf{x}$
• 数乘分配律、结合律
• 单位元性质 $1 \cdot \mathbf{x} = \mathbf{x}$

• 线段: $[a, b] \triangleq \{(1 - t)a + tb : 0 \leqslant t \leqslant 1\}$
• 直线: $L = \{(1 - t)a + tb : t \in \mathbf{R}\}$
• 凸集 (Convex Set): 若 $\forall a, b \in A$，都有 $[a, b] \subset A$，则 $A$ 为凸集。
• 线性流形 (平面): 子空间 $A$ 平移后得到的集合 $A + b$。
• 标准基: $e_1, \dots, e_n$，其中 $e_i$ 第 $i$ 个分量为 1，其余为 0。

通过引入模长和内积，赋予空间几何性质。

定义：$|\mathbf{x}| = (\sum x_i^2)^{1/2}$

性质 (定理 3.2.1):

• 齐次性: $|\alpha \mathbf{x}| = |\alpha| |\mathbf{x}|$
• 三角不等式: $|\mathbf{x} + \mathbf{y}| \leqslant |\mathbf{x}| + |\mathbf{y}|$
• 正定性: $|\mathbf{x}| \geqslant 0$，且 $|\mathbf{x}| = 0 \Leftrightarrow \mathbf{x} = \mathbf{0}$

定义：$\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \sum x_i y_i = \mathbf{x}^T \mathbf{y}$

性质 :

• 对称性: $\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = \mathbf{y} \cdot \mathbf{x}$
• 双线性: $(\alpha \mathbf{x} + \beta \mathbf{y}) \cdot \mathbf{z} = \alpha \mathbf{x} \cdot \mathbf{z} + \beta \mathbf{y} \cdot \mathbf{z}$
• 正定性: $\mathbf{x} \cdot \mathbf{x} = |\mathbf{x}|^2 \geqslant 0$
• Cauchy-Schwarz 不等式: $|\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}| \leqslant |\mathbf{x}| |\mathbf{y}|$

• 夹角: $\cos \theta = \frac{\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}}{|\mathbf{x}| |\mathbf{y}|}$
• 正交: $\mathbf{x} \perp \mathbf{y} \Leftrightarrow \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = 0$
• 勾股定理: 若 $\mathbf{x} \perp \mathbf{y}$，则 $|\mathbf{x} + \mathbf{y}|^2 = |\mathbf{x}|^2 + |\mathbf{y}|^2$
• 极化恒等式: $4\mathbf{x} \cdot \mathbf{y} = |\mathbf{x} + \mathbf{y}|^2 - |\mathbf{x} - \mathbf{y}|^2$
• 超平面: 方程 $\mathbf{n} \cdot (\mathbf{x} - \mathbf{a}) = 0$，其中 $\mathbf{n}$ 为法向量。

• 开球: $B_r(a) = \{x : |x - a| < r\}$
• 闭球: $\bar{B}_r(a) = \{x : |x - a| \leqslant r\}$
• 球面: $S_r(a) = \{x : |x - a| = r\}$ ($S^{n-1}$ 为单位球面)
• 有界集: 存在球包含该集合 $\Leftrightarrow \sup |x| < \infty \Leftrightarrow \text{diam } A < \infty$ ，diam：直径

拓扑结构的基础，描述点的“邻近”关系。

• 开集: $A = A^\circ$ (所有点皆为内点)
• 闭集: $A = \overline{A}$ (包含所有触点)
• 紧集: 有界闭集
• 对偶性公式:
  • $\overline{A} = (A^c)^\circ {}^c$
  • $A^\circ = (\overline{A^c})^c$
  • $A$ 是闭集 $\Leftrightarrow A^c$ 是开集

定理 3.3.2 (运算封闭性):

• 开集: 任意并、有限交仍为开集。
• 闭集: 任意交、有限并仍为闭集。

定理 3.3.3 (结构):

• $\mathbf{R}^1$ 中的开集是可数个互不相交开区间的并。
• $\mathbf{R}^n$ 中的开集是可数个开球的并。

• 定义: 连通的开集（任意两点可用含于该集合的折线连接）。
• 闭区域: 区域及其边界的并。

• 定义: 一族邻域 $\{U_\alpha\}$，使得对任意邻域 $V$，存在 $U_\alpha \subset V$。
• 常用基：球邻域基 $\{B_{1/k}(x)\}$，方体邻域基 $\{C_r(x)\}$。

$\mathbf{R}^2$ 赋予乘法结构后成为复数域 $\mathbf{C}$。

• 乘法定义: $(x, y)(x_1, y_1) = (xx_1 - yy_1, xy_1 + x_1y)$
• 标准型: $z = x + \mathrm{i}y$，其中 $\mathrm{i} = (0, 1), \mathrm{i}^2 = -1$
• 共轭: $\bar{z} = x - \mathrm{i}y$
• 模与辐角: $x = |z|\cos(\text{Arg } z), y = |z|\sin(\text{Arg } z)$

重要关系式:

• $z \bar{z} = |z|^2$
• $\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}, \quad \overline{zw} = \bar{z}\bar{w}$
• $|zw| = |z||w|$

• Euler 公式: $\mathrm{e}^{\mathrm{i}y} = \cos y + \mathrm{i}\sin y$
• 指数函数: $\mathrm{e}^z = \mathrm{e}^x (\cos y + \mathrm{i}\sin y)$ (周期 $2\pi\mathrm{i}$)
• 对数函数: $\ln z = \ln|z| + \mathrm{i}\operatorname{Arg} z$ (多值)【辐角（Argument, $\arg z$）：这个向量与 $x$ 轴正方向之间的夹角。−π<Arg z≤π】
• 幂函数: $z^\alpha = \mathrm{e}^{\alpha \ln z}$
• 开方: $\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{|z|} \exp\left(\frac{2k\pi + \mathrm{i}\arg z}{n}\right)\mathrm{i}$

求和公式: $$ \sum_{k=1}^n \cos kx = \frac{\sin(n + 1/2)x}{2\sin(x/2)} - \frac{1}{2} $$ $$ \sum_{k=1}^n \sin kx = \frac{\sin(nx/2)\sin((n+1)x/2)}{\sin(x/2)} $$

幂次展开 (Dirichlet Kernel 相关): $$ \cos^n x, \sin^n x $$ 可通过二项式展开 $(\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} \pm \mathrm{e}^{-\mathrm{i}x})^n$ 转化为倍角余弦/正弦的线性组合 。

$$ \begin{cases} \cos nx = \sum_{k=0}^{[n/2]} (-1)^k \binom{n}{2k} (\sin x)^{2k} (\cos x)^{n-2k} \\ \sin nx = \sum_{k=0}^{[(n-1)/2]} (-1)^k \binom{n}{2k+1} (\sin x)^{2k+1} (\cos x)^{n-2k-1} \end{cases} $$

$$ \begin{cases} \sin^{2n}x = \frac{1}{4^n} \left[ \binom{2n}{n} + 2 \sum_{k=1}^{n} (-1)^k \binom{2n}{n-k} \cos 2kx \right], \\ \sin^{2n+1}x = \frac{1}{4^n} \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \binom{2n+1}{n-k} \sin(2k+1)x, \\ \cos^{2n}x = \frac{1}{4^n} \left[ \binom{2n}{n} + 2 \sum_{k=1}^{n} \binom{2n}{n-k} \cos 2kx \right], \\ \cos^{2n+1}x = \frac{1}{4^n} \sum_{k=0}^{n} \binom{2n+1}{n-k} \cos(2k+1)x. \end{cases} $$