极坐标系的微积分 (Calculus in Polar Coordinates)

极坐标系提供了一种不同于笛卡尔坐标系（直角坐标系）的视角，特别适合处理圆形、螺旋形或花瓣形曲线。本章讲解如何在极坐标下进行微分和积分运算。

在极坐标中，点的位置由 $(r, \theta)$ 决定，其中 $r$ 是到原点（极点）的距离，$\theta$ 是与极轴（通常是 x 轴正方向）的夹角。

转换公式： $$ x = r \cos \theta $$ $$ y = r \sin \theta $$ $$ r^2 = x^2 + y^2 $$ $$ \tan \theta = \frac{y}{x} $$

注意：在微积分中，极坐标方程通常表示为 $r = f(\theta)$。

在直角坐标系中，切线斜率为 $\frac{dy}{dx}$。在极坐标中，我们需要利用参数方程求导法，将 $\theta$ 视为参数。

已知 $x = r(\theta)\cos\theta$ 和 $y = r(\theta)\sin\theta$。 根据乘积法则（Product Rule）：

• $\frac{dx}{d\theta} = r'(\theta)\cos\theta - r(\theta)\sin\theta$
• $\frac{dy}{d\theta} = r'(\theta)\sin\theta + r(\theta)\cos\theta$

根据链式法则，切线斜率 $k$ 为：

$$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{r'\sin\theta + r\cos\theta}{r'\cos\theta - r\sin\theta} $$

• 水平切线 (Horizontal Tangent)：当 $\frac{dy}{d\theta} = 0$ 且 $\frac{dx}{d\theta} \neq 0$ 时。
• 垂直切线 (Vertical Tangent)：当 $\frac{dx}{d\theta} = 0$ 且 $\frac{dy}{d\theta} \neq 0$ 时。
• 极点处的切线：当曲线经过极点（即 $r=0$）时，公式简化为 $\frac{dy}{dx} = \tan\theta$。这意味着在极点处的切线即为直线 $\theta = \alpha$（其中 $\alpha$ 是使 $r(\alpha)=0$ 的角）。

在直角坐标系中，我们累加的是矩形面积 ($y \cdot dx$)；而在极坐标系中，我们累加的是微小扇形的面积。

一个半径为 $r$，圆心角为 $\Delta \theta$ 的扇形面积公式为： $$ A = \frac{1}{2} r^2 \Delta \theta $$

当 $\Delta \theta \to d\theta$ 时，面积微元为： $$ dA = \frac{1}{2} [f(\theta)]^2 d\theta $$

若曲线 $r = f(\theta)$ 在区间 $[\alpha, \beta]$ 上连续，且 $0 \le \beta - \alpha \le 2\pi$（即不重叠覆盖），则曲线与射线 $\theta=\alpha, \theta=\beta$ 围成的面积为：

$$ A = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} r^2 d\theta = \int_{\alpha}^{\beta} \frac{1}{2} [f(\theta)]^2 d\theta $$

若区域由外曲线 $r_{out}(\theta)$ 和内曲线 $r_{in}(\theta)$ 围成（即 $r_{out} \ge r_{in} \ge 0$），则面积为：

$$ A = \frac{1}{2} \int_{\alpha}^{\beta} \left( [r_{out}(\theta)]^2 - [r_{in}(\theta)]^2 \right) d\theta $$

警告：是平方的差 $(r_{out}^2 - r_{in}^2)$，而不是差的平方 $(r_{out} - r_{in})^2$。

我们要计算曲线 $r = f(\theta)$ 从 $\alpha$ 到 $\beta$ 的长度。

利用弧长微分公式 $ds^2 = dx^2 + dy^2$。 将 $x, y$ 对 $\theta$ 的导数代入并化简（利用 $\sin^2 + \cos^2 = 1$）：

$$ (dx)^2 + (dy)^2 = \left( (r'\cos\theta - r\sin\theta)^2 + (r'\sin\theta + r\cos\theta)^2 \right) (d\theta)^2 $$ 展开合并后，交叉项抵消，得到简洁形式： $$ ds^2 = (r^2 + (r')^2) (d\theta)^2 $$

$$ L = \int_{\alpha}^{\beta} \sqrt{r^2 + \left( \frac{dr}{d\theta} \right)^2} d\theta $$

当极坐标曲线绕极轴（x轴）旋转一周形成曲面时。

公式： $$ S = \int_{\alpha}^{\beta} 2\pi y \ ds = \int_{\alpha}^{\beta} 2\pi (r\sin\theta) \sqrt{r^2 + (r')^2} d\theta $$

* 如果是绕 $y$ 轴（$\theta = \pi/2$）旋转，则将公式中的 $y$ 换成 $x$ ($r\cos\theta$)。

题目：求心形线 $r = 1 + \cos\theta$ 的全长和围成的面积。

1. 面积计算： 利用对称性，计算上半部分 ($0$ 到 $\pi$) 再乘以 2。 $$ A = 2 \int_0^\pi \frac{1}{2} (1+\cos\theta)^2 d\theta = \int_0^\pi (1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta) d\theta $$ 利用 $\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}$，积分得： $$ A = [\theta + 2\sin\theta + \frac{1}{2}\theta + \frac{1}{4}\sin2\theta]_0^\pi = \frac{3}{2}\pi $$

2. 弧长计算： $r = 1+\cos\theta \implies r' = -\sin\theta$ $$ r^2 + (r')^2 = (1+\cos\theta)^2 + (-\sin\theta)^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta + \sin^2\theta = 2 + 2\cos\theta $$ 利用半角公式 $2+2\cos\theta = 4\cos^2(\theta/2)$。 $$ L = \int_0^{2\pi} \sqrt{4\cos^2(\frac{\theta}{2})} d\theta = 2 \int_0^{2\pi} |\cos(\frac{\theta}{2})| d\theta $$ 注意绝对值，或者利用对称性算 $0$ 到 $\pi$ 再乘以 2。 $$ L = 2 \times 2 \int_0^\pi \cos(\frac{\theta}{2}) d\theta = 4 [2\sin(\frac{\theta}{2})]_0^\pi = 8 $$