无穷级数与泰勒级数 (Infinite Series & Taylor Series)

本页面总结了无穷级数的定义、敛散性检验方法、幂级数策略以及泰勒公式。

定义： 一个级数到第 $n$ 项的部分和 (Partial Sum) 定义为： $$ S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_n $$

如果数列 $\{S_n\}$ 收敛，即 $S = \lim_{n\to\infty} S_n$ 存在，则称无穷级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 收敛，且其和为 $S$。

形式：$a + ar + ar^2 + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} ar^n$

• 收敛条件：当 $|r| < 1$ 时收敛，和为 $\frac{a}{1-r}$。
• 发散条件：当 $|r| \ge 1$ 时发散。

用于判定发散的重要工具。

• 如果 $\lim_{n\to\infty} a_n \neq 0$，则级数 $\sum a_n$ 发散。
• > 注意：如果 $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$，不能判定级数收敛（例如调和级数 $\sum 1/n$ 是发散的）。

形式：$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p}$ (其中 $p>0$)

* 收敛：当 $p > 1$ 时。 * 发散：当 $p \le 1$ 时。

当级数各项均为正数时，可使用以下方法。

设 $a_n = f(n)$，其中 $f(x)$ 是连续、正值且递减的函数（对 $x \ge 1$）。 则 $\int_{1}^{\infty} f(x) dx$ 与 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ 同敛散（要么同时收敛，要么同时发散）。

设 $\sum a_n$ 和 $\sum b_n$ 都是正项级数，且对所有 $n$ 有 $b_n \ge a_n$：

1. 若大级数 $\sum b_n$ 收敛 $\implies$ 小级数 $\sum a_n$ 也收敛。
2. 若小级数 $\sum a_n$ 发散 $\implies$ 大级数 $\sum b_n$ 也发散。

设 $\sum a_n$ 和 $\sum b_n$ 都是正项级数。如果存在正数 $k$ 使得： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{b_n} = k $$ 则两个级数同敛散。

对于交错级数（各项符号正负交替），如果满足以下两个条件： 1. $a_{n+1} \le a_n$ (各项绝对值递减) 2. $\lim_{n\to\infty} a_n = 0$ 则该交错级数收敛。

• 定义：如果 $\sum |a_n|$ 收敛，则称 $\sum a_n$ 为绝对收敛。
• 定理：如果一个级数绝对收敛，那么它一定是收敛的。

适用于包含 $n!$ 或 $c^n$ 的级数。计算极限 $L = \lim_{n\to\infty} \left| \frac{u_{n+1}}{u_n} \right|$：

1. 若 $L < 1$，级数绝对收敛。
2. 若 $L > 1$，级数发散。
3. 若 $L = 1$，判定失效（需改用其他方法）。

适用于包含 $n$ 次方 $(...)^n$ 的级数。计算极限 $L = \lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{|u_n|}$：

1. 若 $L < 1$，级数绝对收敛。
2. 若 $L > 1$，级数发散。
3. 若 $L = 1$，判定失效。

幂级数形式：$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots$

根据图片提供的步骤，判断级数敛散性的通用流程如下：

1. 第 1 步：第 n 项检验

检查 $\lim_{n\to\infty} a_n$。如果不等于 0，直接判定发散。如果等于 0，进入第 2 步。

1. 第 2 步：检查特殊级数
   1. 是否为几何级数 $\sum ar^n$？($|r|<1$ 收敛)
   2. 是否为 p-级数 $\sum \frac{1}{n^p}$？($p>1$ 收敛)

1. 第 3 步：正项级数检验

如果是正项级数，选择以下一种：

1. 比较/极限比较法：适合与 $p$ 级数或几何级数对比。
2. 比值检验法：适合含 $n!$ 或 $c^n$ 的级数。
3. 根值检验法：适合含 $n$ 次方的级数。
4. 积分检验法：适合 $a_n$ 容易积分且递减的函数。

1. 第 4 步：交错级数检验

如果是交错级数：

1. 使用交错级数检验法判断是否收敛。
2. 研究 $\sum |a_n|$ 来判断是否绝对收敛。

1. 第 5 步：幂级数收敛区间

对于 $\sum a_n x^n$：

1. 使用比值检验法或根值检验法求出收敛半径 $R$。
2. 必须单独检查区间的两个端点是否收敛。

函数 $f(x)$ 在 $x=a$ 处的展开： $$ f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n $$

即 $a=0$ 时的泰勒公式： $$ f(x) \approx f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n $$

$$ f(x) = P_n(x) + R_n(x) $$ 其中余项（拉格朗日余项）为： $$ R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} $$ ($c$ 是介于 $a$ 和 $x$ 之间的某个数)

(对任何 $|x|<1$ 或特定范围)

• 指数函数：$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$
• 正弦函数：$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$
• 余弦函数：$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots$
• 几何级数：$\frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + \cdots$ (仅当 $|x|<1$)

警告：一个函数的泰勒级数，对一些或全部的 $x$ 值可能会发散。