多变量函数微分学 (Multivariable Differential Calculus)

本页面详细讲解多变量微积分的核心概念，包括极限、连续性、偏导数、链式法则、梯度、极值及拉格朗日乘数法。

与单变量函数不同，多变量函数（如 $f(x,y)$）在趋近某一点 $(a,b)$ 时，必须保证从任何路径趋近该点，极限值都相同。

若 $\lim f = A$ 且 $\lim g = B$ 存在，则有以下性质（参考图片1）：

• 加法法则： $\lim(f + g) = \lim f + \lim g$
• 常数倍： $\lim(cf) = c \lim f$
• 乘法法则： $\lim(fg) = \lim f \lim g$
• 除法法则： $\lim \frac{f}{g} = \frac{\lim f}{\lim g}$ (前提是 $\lim g \neq 0$)

当处理 $(x,y) \to (0,0)$ 的极限问题时，极坐标变换是一个强有力的工具。

例题： 求 $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$

解析（参考图片2）： 该式子属于 $\frac{0}{0}$ 型不定式。对于多变量函数，洛必达法则不再适用。我们可以利用极坐标变换： $$ x = r\cos\theta, \quad y = r\sin\theta, \quad r = \sqrt{x^2+y^2} $$ 当 $(x,y) \to (0,0)$ 时，等价于 $r \to 0$。

代入原式： $$ \lim_{r\to 0} \frac{(r\cos\theta)(r\sin\theta)}{r} = \lim_{r\to 0} (r\cos\theta\sin\theta) = 0 $$ 结论： 极限为 0。因为 $\cos\theta\sin\theta$ 是有界的，乘以趋近于 0 的 $r$，结果必然趋近于 0。

如果函数 $f(x,y)$ 在点 $(a,b)$ 处连续，必须同时满足以下三个条件（参考图片3）：

1. 1. 极限存在： $\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y)$ 存在。
2. 2. 函数有定义： $f(a,b)$ 有定义。
3. 3. 极限等于函数值： $\lim_{(x,y)\to(a,b)} f(x,y) = f(a,b)$。

定理： 如果一个多变量函数由连续函数通过加、减、乘、除（分母不为0）或复合而成，则该函数在其定义域内连续。

偏导数描述了多变量函数沿坐标轴方向的变化率。

根据导数的定义（参考图片4）：

对 $x$ 的偏导数： 把 $y$ 看作常数，对 $x$ 求导。 $$ \frac{\partial f}{\partial x} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h, y) - f(x,y)}{h} $$

对 $y$ 的偏导数： 把 $x$ 看作常数，对 $y$ 求导。 $$ \frac{\partial f}{\partial y} = \lim_{h\to 0} \frac{f(x, y+h) - f(x,y)}{h} $$

• $f_x(a,b)$ 是曲面 $z=f(x,y)$ 在点 $(a,b)$ 处，沿 $x$ 轴方向切线的斜率。
• $f_y(a,b)$ 是曲面 $z=f(x,y)$ 在点 $(a,b)$ 处，沿 $y$ 轴方向切线的斜率。

当变量之间存在复合关系时，需要使用链式法则。

假设 $w = f(u, v)$，而 $u = g(x, y)$ 且 $v = h(x, y)$，则 $w$ 对 $x$ 的偏导数为（参考图片6）：

$$ \frac{\partial w}{\partial x} = \frac{\partial w}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x} $$

同理，对 $y$ 的偏导数为： $$ \frac{\partial w}{\partial y} = \frac{\partial w}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y} $$

记忆技巧（树状图）： 画出变量依赖图：$w \to (u, v) \to (x, y)$。求 $\frac{\partial w}{\partial x}$ 时，找出所有从 $w$ 到 $x$ 的路径，将路径上的导数相乘，不同路径之间相加。

函数 $f(x,y)$ 的梯度是一个向量，定义为（参考图片7）： $$ \nabla f = \left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial y}\mathbf{j} $$

梯度的重要性质：

• $\nabla f$ 指向函数值增长最快的方向。
• $|\nabla f|$ 表示该方向上的最大变化率。
• $\nabla f$ 垂直于过该点的等高线（Level Curve）。

函数 $f$ 在点 $P$ 沿单位向量 $\mathbf{u}$ 方向的变化率： $$ D_{\mathbf{u}}f = \nabla f \cdot \mathbf{u} = |\nabla f| \cos \theta $$

类似于单变量微积分，多变量函数的极值通常出现在临界点，即梯度为零的点： $$ \nabla f(x,y) = \mathbf{0} \implies f_x = 0 \text{ 且 } f_y = 0 $$

题目（参考图片5）： 找出三个数 $x, y, z$，使它们的和是 120，而乘积最大。

解法： 1. 建立函数与约束： 目标函数 $P = xyz$，约束 $x+y+z=120$。 2. 降元： 由约束得 $z = 120 - x - y$。 3. 代入目标函数： $f(x,y) = xy(120-x-y) = 120xy - x^2y - xy^2$。 4. 求偏导并令其为0：

• $f_x = 120y - 2xy - y^2 = y(120-2x-y) = 0$
• $f_y = 120x - x^2 - 2xy = x(120-x-2y) = 0$

5. 解方程组： 排除 $x=0$ 或 $y=0$ 的情况（那样积为0，显然不是最大值），解得 $x=40, y=40$。 6. 回代： $z = 120 - 40 - 40 = 40$。 7. 结论： 三个数均为 40 时乘积最大，最大值为 $40^3 = 64000$。

为了判断临界点 $(a,b)$ 是极大值、极小值还是鞍点，我们需要计算黑塞矩阵（Hessian）的行列式 $D$：

$$ D = f_{xx}(a,b) f_{yy}(a,b) - [f_{xy}(a,b)]^2 $$

判定规则：

• 若 $D > 0$ 且 $f_{xx} > 0$ $\implies$ 局部极小值
• 若 $D > 0$ 且 $f_{xx} < 0$ $\implies$ 局部极大值
• 若 $D < 0$ $\implies$ 鞍点 (Saddle Point)
• 若 $D = 0$ $\implies$ 检验失效

当需要在约束条件 $g(x,y)=k$ 下求函数 $f(x,y)$ 的极值时，除了上述的“降元法”，更通用的方法是拉格朗日乘数法。

核心思想： 在极值点处，目标函数的等高线与约束曲线相切，即它们的梯度向量平行。

方程组： $$ \nabla f = \lambda \nabla g $$ $$ g(x,y) = k $$

即求解：

1. $f_x = \lambda g_x$
2. $f_y = \lambda g_y$
3. $g(x,y) = k$

解出 $x, y, \lambda$，比较所有解点的函数值即可得到最大/最小值。