向量场与向量微积分 (Vector Fields & Vector Calculus)

向量微积分是处理向量场的微分和积分的数学分支，广泛应用于物理学（电磁学、流体力学）和工程学。

向量场是将空间中的每一点 $(x,y,z)$ 映射到一个向量 $\mathbf{F}(x,y,z)$ 的函数。

• 二维向量场：$\mathbf{F}(x,y) = P(x,y)\mathbf{i} + Q(x,y)\mathbf{j}$
• 三维向量场：$\mathbf{F}(x,y,z) = P(x,y,z)\mathbf{i} + Q(x,y,z)\mathbf{j} + R(x,y,z)\mathbf{k}$

直观理解：

• 速度场：流体中每一点的流速向量。
• 力场：引力场或电场，表示某点受到的力的大小和方向。

在介绍散度和旋度之前，我们需要引入Del 算子 (Nabla Operator) $\nabla$： $$ \nabla = \frac{\partial}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial y}\mathbf{j} + \frac{\partial}{\partial z}\mathbf{k} $$

散度是一个标量，描述了向量场在某一点是“发散”还是“汇聚”。

定义： $$ \text{div } \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} $$

物理意义：

• $\text{div } \mathbf{F} > 0$：该点是源 (Source)，流体从该点涌出（如气泵出口）。
• $\text{div } \mathbf{F} < 0$：该点是汇 (Sink)，流体向该点汇聚（如排水口）。
• $\text{div } \mathbf{F} = 0$：无源场 (Incompressible)，流入等于流出。

旋度是一个向量，描述了向量场在某一点附近的旋转趋势。

定义： $$ \text{curl } \mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} $$ 展开后为： $$ \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right)\mathbf{i} + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right)\mathbf{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)\mathbf{k} $$

物理意义：

• 旋度向量的方向表示旋转轴的方向（右手定则）。
• 旋度的大小表示旋转的强度（角速度的两倍）。
• 若 $\text{curl } \mathbf{F} = \mathbf{0}$，称该场为无旋场 (Irrotational)。

线积分是对沿曲线 $C$ 分布的函数进行积分。

对标量函数 $f(x,y)$ 沿曲线 $C$ 的积分，常用于计算沿曲线分布的质量（已知线密度）。 $$ \int_C f(x,y) \, ds = \int_a^b f(x(t), y(t)) \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2} \, dt $$

计算向量场 $\mathbf{F}$ 沿曲线 $C$ 所做的功 (Work) 或流量。 $$ \int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)) \cdot \mathbf{r}'(t) \, dt $$

计算形式： 若 $\mathbf{F} = P\mathbf{i} + Q\mathbf{j} + R\mathbf{k}$，则： $$ \int_C P \, dx + Q \, dy + R \, dz $$

如果向量场 $\mathbf{F}$ 是某个标量函数 $f$ 的梯度，即 $\mathbf{F} = \nabla f$，则称 $\mathbf{F}$ 为保守场，$f$ 称为势函数 (Potential Function)。

1. 路径无关性 (Path Independence)：$\int_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}$ 的值只取决于起点和终点，与路径无关。 2. 闭回路积分为零：对于任意闭曲线 $C$，$\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = 0$。

在单连通区域内，$\mathbf{F}$ 是保守场的充要条件是旋度为零： $$ \text{curl } \mathbf{F} = \mathbf{0} $$ 即（对于二维）：$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial P}{\partial y}$。

这是微积分基本定理在向量场中的推广： $$ \int_C \nabla f \cdot d\mathbf{r} = f(\text{终点}) - f(\text{起点}) $$

格林定理建立了平面闭曲线上的线积分与该曲线围成区域上的二重积分之间的联系。

条件：

• $C$ 是分段光滑的简单闭曲线。
• 方向为逆时针（正向，区域在左侧）。
• $D$ 是 $C$ 围成的平面区域。

公式： $$ \oint_C P \, dx + Q \, dy = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \, dA $$

应用：

1. 简化复杂的线积分计算。
2. 计算平面区域的面积（取 $P=-y/2, Q=x/2$）。

散度定理（也称高斯公式）建立了闭曲面上的通量 (Flux) 与该曲面内部体积的散度三重积分之间的联系。

条件：

• $E$ 是空间简单立体区域。
• $S$ 是 $E$ 的边界曲面。
• 方向为外侧法向量 $\mathbf{n}$。

公式： $$ \iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} = \iiint_E \text{div } \mathbf{F} \, dV $$

直观理解： 流出闭曲面 $S$ 的总流量（通量）等于该立体 $E$ 内部所有“源”和“汇”的总和。

斯托克斯定理建立了空间闭曲线上的线积分与以该曲线为边界的曲面上的旋度曲面积分之间的联系。

公式： $$ \oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} = \iint_S (\text{curl } \mathbf{F}) \cdot d\mathbf{S} $$

方向：遵循右手定则（手指沿曲线 $C$ 方向，拇指指向曲面法向量 $\mathbf{n}$ 方向）。