向量代数基础 (Vector Algebra Basics)

本页面总结了向量的点积、叉积及其几何性质与应用。

点积（也称为数量积）的结果是一个标量（实数）。

• 代数定义（坐标形式）：

$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 $$

• 几何定义：

$$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \cos\theta $$ 其中 $\theta$ 是向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 之间的夹角。

• 垂直判定：

向量 $\mathbf{a}$ 跟 $\mathbf{b}$ 互相垂直，当且仅当点积为零： $$ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0 $$

• 求向量夹角：

向量 $\mathbf{a}$ 跟 $\mathbf{b}$ 所夹的角 $\theta$ 可由下列式子决定： $$ \cos\theta = \frac{\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}}{|\mathbf{a}| |\mathbf{b}|} $$

叉积（也称为向量积）的结果是一个向量。

• 行列式计算法：

$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} $$ 展开后为：$(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} - (a_1b_3 - a_3b_1)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}$

• 重要事实（正交性）：

$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ 产生的向量，跟 $\mathbf{a}$ 与 $\mathbf{b}$ 两个向量都垂直。

• 模长（大小）：

$$ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = |\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin\theta $$

• 反交换律：

叉积不满足交换律，交换顺序后方向相反： $$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = - \mathbf{b} \times \mathbf{a} $$

利用叉积的模长可以计算由向量构成的图形面积。

• (三角形的) 面积：

由向量 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 构成的三角形面积为： $$ \text{Area} = \frac{1}{2}|\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin\theta = \frac{1}{2}|\mathbf{a} \times \mathbf{b}| $$

三个向量 $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$ 的混合积定义为 $\mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c})$。

• 计算公式：

$$ \mathbf{a} \cdot (\mathbf{b} \times \mathbf{c}) = \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix} $$ (注：其几何意义通常代表由这三个向量构成的平行六面体的体积)