本页面详细讲解向量值函数的微分、积分、弧长以及曲率的相关知识点。
向量值函数 $\mathbf{r}(t)$ 通常用于表示空间曲线。其导数 $\mathbf{r}'(t)$ 代表曲线的切向量。
如果 $\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))$，其中 $x, y, z$ 是可微函数，则 $\mathbf{r}(t)$ 的导数为：
$$ \mathbf{r}'(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = (x'(t), y'(t), z'(t)) $$
向量函数的求导法则与实值函数类似，但涉及向量积（叉积）时需特别注意顺序。假设 $\mathbf{r}(t)$ 和 $\mathbf{s}(t)$ 是可微向量函数，$f(t)$ 是可微标量函数，$c$ 是常数。
$$ \frac{d}{dt}[\mathbf{r}(t) + \mathbf{s}(t)] = \mathbf{r}'(t) + \mathbf{s}'(t) $$
$$ \frac{d}{dt}[c\mathbf{r}(t)] = c\mathbf{r}'(t) $$
$$ \frac{d}{dt}[f(t)\mathbf{r}(t)] = f'(t)\mathbf{r}(t) + f(t)\mathbf{r}'(t) $$
$$ \frac{d}{dt}[\mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{s}(t)] = \mathbf{r}'(t) \cdot \mathbf{s}(t) + \mathbf{r}(t) \cdot \mathbf{s}'(t) $$
$$ \frac{d}{dt}[\mathbf{r}(t) \times \mathbf{s}(t)] = \mathbf{r}'(t) \times \mathbf{s}(t) + \mathbf{r}(t) \times \mathbf{s}'(t) $$
$$ \frac{d}{dt}[\mathbf{r}(f(t))] = f'(t)\mathbf{r}'(f(t)) $$
曲线的长度可以通过对切向量的模长（即速率）进行积分来计算。
曲线 $\mathbf{r}(t)$ 在区间 $a \leq t \leq b$ 上的弧长 $S$ 定义为：
$$ S = \int_{a}^{b} |\mathbf{r}'(t)| \, dt = \int_{a}^{b} \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2 + (z'(t))^2} \, dt $$
如果我们将 $|\mathbf{r}'(t)|$ 记作 $|\mathbf{v}(t)|$（即速度的大小，也就是速率），公式可以写为：
$$ S = \int_{a}^{b} |\mathbf{v}(t)| \, dt $$
这表示：路程等于速率对时间的积分。
曲率 $\kappa$ (kappa) 描述了曲线弯曲的程度，即曲线方向改变的快慢。
首先定义单位切向量 $\mathbf{T}(t)$： $$ \mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|} $$ 这是一个长度始终为 1 的向量，仅指示曲线的方向。
如果曲线是用弧长参数 $s$ 表示的，即 $\mathbf{r}(s)$，这意味着粒子以单位速率（速度大小为 1）运动。此时 $|\mathbf{r}'(s)| = 1$。
在此特殊情况下，曲率定义非常简洁： $$ \kappa(s) = |\mathbf{r}''(s)| $$
对于一般的参数 $t$（速度不一定为 1），曲率的定义需要消除速率变化的影响，仅关注方向的变化：
$$ \kappa(t) = \frac{|\mathbf{T}'(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|} $$
在实际解题中，计算 $\mathbf{T}'(t)$ 可能很繁琐。对于任意参数曲线，常用的等价计算公式是： $$ \kappa(t) = \frac{|\mathbf{r}'(t) \times \mathbf{r}''(t)|}{|\mathbf{r}'(t)|^3} $$